График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).
График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).
Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба
Теорема
(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)
Пусть функция определена на интервале и имеет непрерывную, не равную нулю в точке вторую производную. Тогда, если всюду на интервале , то функция имеетвогнутость на этом интервале, если , то функция имеет выпуклость.
Определение
Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.
Теорема
(О необходимом условии существования точки перегиба)
Если функция имеет перегиб в точке , то или не существует.
Теорема
(О достаточном условии существования точки перегиба)
Если:
- первая производная непрерывна в окрестности точки ;
- вторая производная или не существует в точке ;
- при переходе через точку меняет свой знак,
тогда в точке функция имеет перегиб.
Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость
- Найти вторую производную функции.
- Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
- Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.
