:)

 

 

 

ВОПРОС 55.

Замена переменной в определенном интеграле

Для определенного интеграла справедливы все типы замен, что и для неопределенного интеграла. Таким образом, если с заменами у Вас не очень, следует внимательно ознакомиться с уроком Метод замены в неопределенном интеграле.

В этом параграфе нет ничего страшного или сложного. Единственная новизна состоит в вопросе, как поменять пределы интегрирования при замене.

В примерах я постараюсь привести такие типы замен, которые еще нигде не встречались на сайте.

Пример 5

Вычислить определенный интеграл

Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в таблицу интегралов и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм:   . Но есть одна неувязочка, в табличном интеграле под корнем  , а в нашем – «икс» в четвёртой степени. Из рассуждений следует и идея замены – неплохо бы нашу четвертую степень как-нибудь превратить в квадрат. Это реально.

Сначала готовим наш интеграл к замене:

 

Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена: 
Таким образом, в знаменателе будет всё хорошо:  .
Выясняем, во что превратится оставшаяся часть   подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал  :

 

По сравнению с заменой в неопределенном интеграле у нас добавляется дополнительный этап.

Находим новые пределы интегрирования.

Это достаточно просто. Смотрим на нашу замену   и старые пределы интегрирования  ,  .

Сначала подставляем в выражение замены   нижний предел интегрирования, то есть, ноль:

 

Потом подставляем в выражение замены   верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх:

Готово. И всего-то лишь…

Продолжаем решение.

 

(1) В соответствии с заменой записываем новый интеграл с новыми пределами интегрирования.

(2) Это простейший табличный интеграл, интегрируем по таблице. Константу   лучше оставить за скобками (можно этого и не делать), чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях. Справа отчеркиваем линию с указанием новых пределов интегрирования   – это подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница  .

Ответ стремимся записать в максимально компактном виде, здесь я использовал свойства логарифмов.

 ВОПРОС 56.

Предположим, что функция   задана на бесконечном промежутке вида   и интегрируема на любом конечном отрезке   , где   . Таким образом, мы можем рассмотреть функцию

 

Если эта функция имеет предел   то число   называется значением несобственного интеграла первого рода

 

а сам интеграл   называется сходящимся (иными словами, интеграл   сходится).

Если же предела   не существует (например, если   при   ), то интеграл   называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.       Пример 4.1   Вычислим значение интеграла

 

Согласно определению, нам нужно вычислить значение функции

 

а потом вычислить предел

 

Итак,

 

(напомним, что   ) и

 

Получили, что интеграл сходится и его значение таково:

 

Вопрос 57.

  Пусть функция   удовлетворяет указанным выше условиям на   . Несобственным интегралом второго рода назовём тогда интеграл

 

значение   которого равняется левостороннему пределу

 

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения; в этом случае будем условно писать

 

ВОПРОС 58.

Вычисление площади плоской фигуры

 

1.1. Пусть функция   непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b]. Тогда площадь фигуры, ограниченной осью ОХ, отрезками прямых x = a, x = b и графиком функции  , может быть вычислена по формуле   (см. 10.1 рис. 1).

1.2. Если   на отрезке [a, b],   - непрерывные функции, то площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, x = b, графиками функций   вычисляется по формуле   (рис. 10).

1.3. Если функция   на отрезке [a, b] принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключенная между кривой   и осью  , равна   

 

П р и м е р  15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций   и  .

Решение. Вычислим координаты точек пересечения графиков этих функций. Для этого решим систему

 

 

 

=

 

 

3. Вычисление длины дуги плоской кривой

3.1 Если функция y = f(x) непрерывна вместе с её производной f'(x) на отрезке [a, b], то длина дуги AB, где A(a,f(a)), B(b, f(b)), выражается формулой

 

                                     .                                        (28)

 

3.2. Если кривая задана параметрическими уравнениями    , где x(t), y(t) - дифференцируемые функции, то длина дуги

 

                                      .                                         (29)

 

3.3. Если дуга задана в полярных координатах  ,   , то длина дуги

 

                                  .                                     (30)

 

П р и м е р  20. Вычислить длины дуг плоских кривых:

 

а)  ;   б)    ;

 

в)  ,   .

Решение. а) Воспользуемся формулой (10). Так как 

 

,

 

то

.

 

б) Воспользуемся формулой (11). Так как      , то .

в)  .

4. Вычисление объемов. Нахождение объемов некоторых тел можно свести к вычислению определенных интегралов.

4.1. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Если известны площади сечений тела плоскостями, перпендикулярными оси OX, т. е., зная х, мы можем вычислить площадь сечения S = S (x). Тогда объем тела   в предположении, что S(x) - интегрируемая функция.

4.2. Вычисление объема тела вращения:

а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела  ;

б) а если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой  , прямыми y=c, y=d (c<d) и осью OY, вокруг оси OY, то его объем  ;

в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией y = f (x), прямыми x = a, x = b   и осью OX, то его объем можно вычислить по формуле  ;

г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой  , двумя полярными радиусами   и  , то  объем полученного тела может быть вычислен по формуле  .

П р и м е р 21. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций   и   вокруг оси  OX.

Решение. Найдем точки пересечения параболы   и прямой  . Решим систему:

 

   Þ   Þ 

 

Получим две точки пересечения:

х1 = 1, у1 = 1; х2 = 2, у2 = 0.

 

Сделаем чертеж (рис. 19).

 

 

 

 

 

Вычисление площади поверхности вращения

5.1. Поверхность, образованная вращением кривой  , a < x < b вокруг оси OX, имеет площадь

 

                             .

 

5.2. Если кривая задана параметрическими уравнениями

 

    ,

 

причем  , то

 

.

 

5.3. Если дуга  ,  , задана в полярной системе координат кривой, и вращается вокруг полярной оси, то площадь поверхности вращения можно вычислить по формуле

.

 

П р и м е р  23. Найти площадь поверхности шарового пояса, образованного вращением части окружности x2 + y2 = R2    вокруг оси OX (рис. 21).

Решение. Из уравнения окружности имеем  . Вращаем вокруг оси ОХ дугу верхней части.

Найдем   и   Тогда по соответствующей формуле площадь шарового пояса