Если независимая переменная и функция связаны уравнением вида , которое не разрешено относительно , то функция называется неявной функцией переменной .
Пример
Всякую явно заданную функцию можно записать в неявном виде . Обратно сделать не всегда возможно.
Несмотря на то, что уравнение не разрешимо относительно , оказывается возможным найти производную от по . В этом случае необходимо продифференцировать обе части заданного уравнения, рассматривая функцию как функцию от , а затем из полученного уравнения найти производную .
Пример
Задание. Найти вторую производную неявной функции .
Решение. Продифференцируем левую и правую часть заданного равенства, при этом помним, что является функцией переменной , поэтому производную от нее будем брать как производную от сложной функции. В итоге получаем:
Из полученного равенства выражаем :
Для нахождения второй производной продифференцируем равенство еще раз:
Подставив вместо найденное выше выражение, получаем:
После упрощения получаем:
Из полученного равенства выражаем вторую производную :
Ответ.
