производная сложной функции

Производная сложной функции

Рассмотрим сначала понятие сложной функции. Пусть функция g определена на множестве X и может принимать значения в множестве U. В таком случае говорят, что функция g отображает множество X в U, а сама функция записывается как

Представим теперь, что на множестве U задана другая функция f, которая отображает множество U в Y:

Такое двойное отображение, при котором область значений первого отображения является подмножеством области определения второго отображения, называется композицией отображений, а соответствующие функции образуют композицию функций. 

Если  g : X → U и  f : U → Y, то композиция функций g и f обозначается как

и представляет собой "двухслойную" сложную функцию или функцию от функции. 

Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция   также дифференцируема по x и ее производная равна

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно иметь ввиду, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! 

Докажем приведенную формулу. 

Возьмем произвольную точку x0. Будем считать, что функция u = g(x) дифференцируема в точке x0, а функцияy = f(u), соответственно, дифференцируема в точке u0 = g(x0). Это означает, что в указанных точках существуют производные g'(x) и f'(u), а функции g(x) и f(u) являются непрерывными в некоторой окрестности этих точек. 

Производная внешней функции y = f(u) в точке u0 записывается через предел в виде

Это выражение можно переписать в такой форме:

где ошибка ε(Δu) зависит от приращения Δu и выполняется условие

Разделим выражение для Δy на приращение внутренней переменной Δx ≠ 0:

Поскольку внутренняя функция u = g(x) дифференцируема в точке x0, то

Заметим также, что   в силу непрерывности функции u(x) и, следовательно,

В результате производная сложной функции в точке x0 выражается следующей формулой:

Данное правило дифференцирования легко обобщается на случай композитных функций, состоящих из трех и более функций. Так, например, производная "трехслойной" сложной функции  y = f (g(h(x)))  находится по формуле

Можно заметить, что производная сложной функции представляется в виде последовательного произведения производных составляющих функций, причем аргументы функций согласованы (сцеплены) таким образом, что значение внутренней функции служит аргументом для следующей за ней внешней функции. Поэтому правило дифференцирования сложной функции часто называют "цепным правилом" (chain rule). 

В примерах 1−50 найти производные заданных функций: 

   Пример 1

      y = ln x2.

Решение.