еометрический и механический смысл производной
С вычислением производной мы сталкиваемся всякий раз, когда требуется определить скорость изменения одной величины - функции в зависимости от изменения другой величины - независимой переменной.
Определение
Средней скоростью изменения функции при переходе независимой переменной от значения к значению называется отношение приращения функции к приращению независимой переменной, то есть
Определение
Истинной или мгновенной скоростью изменения функции при заданном значении независимой переменной называется предел, к которому стремится средняя скорость изменения функции при стремлению к нулю приращения аргумента :
Механический смысл производной
Теорема
(Механический смысл производной)
Пусть задан путь движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени :
Пример
Задание. Тело движется прямолинейно по закону (м). Определить скорость его движения в момент с.
Решение. Искомая скорость - это производная от пути, то есть
В заданный момент времени
(м/с).
Ответ. (м/с).
Больше примеров решенийРешение производных онлайн
Геометрический смысл производной
Производная функции , вычисленная при заданном значении , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой :
Замечание
Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .
Пример
Задание. На рисунке №1 изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найти значение .
Решение. Из геометрического смысла производной получаем, что
Найдем угол . Рассмотрим треугольник - прямоугольный, равнобедренный. Тогда , а значит
А отсюда следует, что
Ответ.
