Задача 1 (о скорости движения). По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой s=s(t), где t — время (в секундах), s(t) — положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).
Решение . Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке M.
Дадим аргументу t приращение Δt и рассмотрим ситуацию в момент времени t+Δt. Координата материальной точки станет другой, тело в этот момент будет находиться в точке P:OP=s(t+Δt).
Значит, за Δt секунд тело переместилось из точки M в точку P. Имеем: MP=OP−OM=s(t+Δt)−s(t). Полученную разность мы назвали в приращением функции: s(t+Δt)−s(t)=Δs. Итак, MP=Δs(м). Нетрудно найти среднюю скорость vср движения тела за промежуток времени [t;t+Δt]: vср=ΔsΔt (м/с).
А что такое скорость v(t) в момент времени t (ее называют мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость движения за промежуток времени [t;t+Δt] при условии, что Δt выбирается все меньше и меньше; точнее: при условии, что Δt→0. Это значит, что v(t)=limΔt→0vср.
Итак,
v=limΔt→0ΔsΔt
Задача 2 (о касательной к графику функции). Дан график функции y=f(x). На нем выбрана точка M(a;f(a)), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.
Решение . Дадим аргументу приращение Δx и рассмотрим на графике точку P с абсциссой a+Δx. Ордината точки P равна f(a+Δx). Угловой коэффициент секущей MP, т. е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле kсек=ΔyΔx.
Если мы теперь устремим Δx к нулю, то точка P начнет приближаться по кривой к точке M. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, чтоугловой коэффициент касательной kкас=limΔx→0kсек будет вычисляться по формуле kкас=limΔx→0kсек. Используя приведенную выше формулу для kсек, получаем:
kкас=limΔx→0ΔyΔx
