Основные понятия и определения
Определение
Функция называется непрерывной в точке , если:
- функция определена в точке и ее окрестности;
- существует конечный предел функции в точке ;
- это предел равен значению функции в точке , т.е.
Замечание
При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть
Пример
Задание. Вычислить предел
Решение.
Ответ.
Приращение аргумента и функции
Рассмотрим функцию , которая определена в некотором интервале и рассмотрим произвольную точку из этого интервала: .
Определение
Приращением аргумента в точке называется разность
Замечание. Из последнего равенства легко увидеть, что .
Приращением функции в точке называется разность соответствующих значений функции или, используя равенство из выше приведенного замечания, будем иметь:
Теорема
Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции :
Пример
Задание. Исследовать на непрерывность функцию
Решение. Функция определена в любой точке из . Найдем приращение заданной функции произвольной точке :
Тогда
А тогда делаем вывод, что функция является непрерывной.
Ответ. Функция является непрерывной.
Полезные теоремы о непрерывности функции
Теорема
Если функции и непрерывны в точке , то функции , , также непрерывны в точке .
Пусть функция задана на множестве , а - множество значений этой функции. Пусть на множестве задана функция . Тогда говорят, что на множестве задана композиция функций (или сложная функция) .
Теорема
Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда композиция функций непрерывна в точке .
Теорема
Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.
