Сравнение бесконечно малых функций

Определение

Функция называется бесконечно малой при (или в точке ), если

Подробная теория про бесконечно малые функции по ссылке.

Пример

Функция является б.м. при , так как

Бесконечно малые функции одного порядка

Пусть и - две б.м. функции при .

Определение

Функции и называются б.м. одного порядка малости при , если

Пример

Рассмотрим функции и , которые являются б.м. при :

Найдем предел отношения этих функций при :

Так как предел равен конечному, отличному от нуля числу, то рассматриваемые функции и являются б.м. одного порядка малости при .

Бесконечно малые функции более низкого и высокого порядков

Определение

Если , то является б.м. более высокого порядка при , чем , а - б.м. более низкого порядка по сравнению с : при .

Пример

Функция , является б.м. более высокого порядка, чем функция , в точке , так как

Определение

Если , то - б.м. низшего порядка малости при по сравнению с .

Пример

Рассмотрим функцию , которая является б.м. в точке : , и б.м. в этой же точке функцию : . Найдем предел частного этих функций:

А поэтому, функция является б.м. низшего порядка малости при , чем функция .

Определение

Если , то называется б.м. порядка по сравнению с при .

Пример

Функция называется б.м. порядка 2 по сравнению с функцией в точке , так как

, что и требовалось доказать.

Эквивалентные (равносильные) бесконечно малые функции

Определение

Если , то б.м. функции и называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при : при .

Пример

Функции и являются эквивалентными б.м. в точке , так как, во-первых:

а во-вторых: