Бесконечно малые функции

Бесконечно малые функции

Определение

Функция   называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при   (или в точке   ), если

Пример

Функция   является бесконечно малой (б.м) функцией при  .

Основные свойства бесконечно малых функций

1°   Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.

2°   Произведение б.м функции на ограниченную есть функция б.м.

3°   Произведение двух б.м функций есть функция б.м.

4°   Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.

5°   Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м.

6°   Функция  , обратная к б.м функции  , есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.

Пример

Задание. Доказать, что функция   является бесконечно малой в точке  .

Доказательство. Из того, что   делаем вывод, что функция  является б.м при  . Функция   является ограниченной:  . А тогда их произведение  , согласно свойству №3, является функцией б.м.

Теорема

Пусть   - предел функции   в точке  :   . Тогда заданную функцию можно представить в виде  , где   - б.м функция. Верно и обратное утверждение.

Пример

Задание. Доказать, что  .

Доказательство. Рассматриваемую функцию   представим в виде суммы предела этой функции - числа 5 и бесконечно малой функции   :

А тогда, по выше приведенной теореме, делаем вывод, что  .