Рассмотрим функцию , заданную на .
Определение
Число называется пределом функции на бесконечности или при , если для любого существует число такое, что для всех из того, что , выполняется неравенство .
Бесконечно большая функция
Определение
Функция называется бесконечно большой в точке , если для любого существует такое , что для любого , удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство: . В этом случае пишут:
Пример
Бесконечно большой функцией в точке 0 является функция
Определение
Функция называется бесконечно большой при , если для любого существует такое число такое, что для всех из области определения функции , которые удовлетворяют неравенству , выполняется неравенство :
Пример
Функция является бесконечно большой функцией при .
илии
Определение Править
- Пусть задана числовая функция с неограниченной сверху областью определения, то есть и Тогда наывается пределом функции при стремящемся к бесконечности, если
Пишут:
- Аналогично пусть и Число называется пределом функции при стремящемся к минус бесконечности, если
Пишут:
Окрестностное определение Править
Расширенная числовая прямая становится топологическим пространством, если её снабдить естественной топологией, определив окрестности ьдьщых точек следующим образом:
- Окрестностью точки является любой интервал
- Окрестностью точки является любой интервал
Пределы функции на бесконечности тогда можно определить как обычные пределы на топологическом пространстве.
- Число называется пределом функции при стремящемся к бесконечности, если для любой окрестности существует окрестность такая, что
- Число называется пределом функции при стремящемся к минус бесконечности, если для любой окрестности существует окрестность такая, что
