Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.
Пусть задана функция ƒ : X®Y.
Если элементами множеств X и Y являются действительные числа (т. е. XÌ R и YÌ R), то функцию ƒ называют числовой функцией. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции, для краткости будем именовать их просто функциями и записывать у=ƒ(х).
Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, а у — функцией или зависимой переменной (от х). Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Иногда функциональную зависимость у от х пишут в виде у=у(х), не вводя новой буквы (ƒ) для обозначения зависимости.
Частное значение функции ƒ(х) при х=a записывают так: ƒ(a). Например, если ƒ(х)=2х2-3, то ƒ(0)=-3, ƒ(2)=5.
Графиком функции у=(х) называется множество всех точек плоскости Оху, для каждой на которых х является значением аргумента, а у — соответствующим значением функции.
Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.
Если область определения функции у = ƒ(х) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл.Так, областью определения функции у= √(1-х2) является отрезок [-1; 1].
Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию у=ƒ(х).
Графический способ: задается график функции.
Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции у, соответствующие тем или иным значениям аргумента х, непосредственно находятся из этого графика.
Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком — его неточность.
Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.
На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.
1. Функция у=ƒ(х), определенная на множестве D, называется четной, если " xÎ D выполняются условия -хєD и ƒ(-х)=ƒ(х); нечетной, если " xєD выполняются условия -хєD и ƒ(-х)=-ƒ(х).
График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной — относительно начала координат.
Например, у=х2, у=√(1+х2), у=ln|х| — четные функции; а у=sinx, у=х3 — нечетные функции; у=х-1, у=√x — функции общего вида, т. е. не четные и не нечетные.
2. Пусть функция у=ƒ(х) определена на множестве D и пусть D 1єD. Если для любых значений х 1;x2єD1 аргументов из неравенства x1<x2 вытекает неравенство: ƒ(x 1)<ƒ(х2), то функция называется возрастающей на множестве D 1; f(x1) ≤ ƒ(х2), то функция называется неубывающей на множестве D1; f(x1)>ƒ(х2), то функция называется убывающей на множестве D1; ƒ(х1)≥ƒ(x2), то функция называется невозрастающей на множестве D1.
Например, функция, заданная графиком (см. рис. 100), убывает на интервале (-2; 1), не убывает на интервале (1; 5), возрастает на интервале (3; 5).
Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве D1 называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие — строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности. На рисунке (выше) функция строго монотонна на (-2; 1) и (3; 5); монотонна на (1;3).
3. Функцию у=ƒ(х), определенную на множестве D, называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число М>0, что для всех хєD выполняется неравенство |ƒ(х)|≤М (короткая запись: у=ƒ(х), хєD, называется ограниченной на D, если $М>0: xєD ==>|ƒ(х)|≤М). Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми у=-М и у=М (см. рис. 101).
