R—множество действительных чисел.
Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, 1/2= 0,5 (= 0,500...), 1/3=0,333... — рациональные числа.
Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррационалъными.
Множество R действительных чисел обладает следующими свойствами.
1. Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел α и b имеет место одно из двух соотношений а<b либо b<а.
2. Множество R плотное: между любыми двумя различными числами a и b содержится бесконечное множество действительных чисел х, т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству a<х<b.
Так, если a<b, то одним из них является число (a+b)/2
(a<bÞ 2a<а+b а+b<2bÞ 2а<a+b<2bÞ а<(a+b)/2<b).
3. Множество R непрерывное. Пусть множество R разбито на два непустых класса А и В таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел aєА и bєВ выполнено неравенство a<b. Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число с, удовлетворяющее неравенству a≤с≤b ("aєA, "bєВ). Оно отделяет числа класса. A от чисел класса В.Число с является либо наибольшим числом в классе А (тогда в классе В нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе В (тогда в классе А нет наибольшего).
Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу хєR соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, наоборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное) действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка».
Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
[a; b] =
