Системы счисления

Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Система счисления:

даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);
даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);
отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.\

Двоичная система счисления[править]

В компьютерной технике очень часто используется двоичная система счисления. Такую систему очень легко реализовать в электронике .

$10101010_2 = 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 128 + 32 + 8 + 2 = 170$

Степень	Значение
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128
8	256
9	512
10	1024
11	2048
12	4096
13	8192
14	16384
15	32768
16	65536

Сложение:

Вычитание:

1110
0101
----
1001

Умножение:

Деление:

1000110|101
 101   -----
----   0001110 
  111
  101
  ---
   101
   101
   ---
     00

Компьютерам очень удобно оперировать двоичными числами, но люди не привыкли работать с большим количеством цифр. Например, чтобы представить в двоичном виде число 1234 потребуется больше 10 двоичных цифр (10011010010). Поэтому были придуманы восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений. Они удобны как и десятичные числа тем, что для представления числа требуется меньшее количество разрядов. А по сравнению с десятичными числами, перевод в двоичное представление очень простой. Это как будто мы двоичное число разбили на группы по три или четыре разряда и каждой двоичной комбинации придумали значок. Вот таблица для восьмеричных цифр:

Двоичная комбинация	Значок
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

А вот таблица для шестнадцатеричных цифр:

Двоичная комбинация	Значок
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Перевод произвести очень просто, посмотрим на примере числа 10011010010.

Разбиваем его на группы по три цифры: 010 011 010 010. И по таблице переводим: $2322_8$ .

Чтобы перевести число в шестнадцатеричное представление разбиваем двоичное число на группы по четыре цифры: 0100 1101 0010. И по таблице переводим: