Также можно перечислить все возможные булевы функции от двух аргументов в форме следующей таблицы:
|
|
|
0 |
• |
→` |
X |
←` |
Y |
+ |
˅ |
↓ |
↔ |
y |
← |
X |
→ |
| |
1 |
|
X |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Кстати, функции пронумерованы так, что номер функции, записанный в двоичной системе счисления, дает последовательность значений соответствующей функции. Например, двоичная запись числа 13 имеет вид: 1101. Соответствующая функция
(x, у) принимает следующие значения: (0, 0) = 1, (0, 1) = 1, (1, 0) = 0, (1, 1) = 1.
Многие из перечисленных функций имеют названия и специальные обозначения. Можно показать их, сгруппировав функции в пары по тому принципу, что каждая функция из пары является отрицанием другой функции этой пары.
Первые две функции, которые рассматриваются, (x, у) = 0 и
( x, y) = 1 — тождественный ноль и тождественная единица.
Далее, функция (x, у) называется конъюнкцией и обозначается х•у (или ху). Таким образом, (x, у) = х•у. Конъюнкция принимает значение 1 в том и только в том случае, когда оба ее аргумента принимают значение 1. Отрицание конъюнкции, функция (x,y), называется штрихом Шеффера и обозначается х | у. Таким образом, (x, у) = (х у)` = х| у. Эта функция принимает значение 0 в том и только в том случае, когда функция (x, у) принимает значение 1, т.е. в случае, когда оба ее аргумента принимают значение 1.
Функция (x, у) называется дизъюнкцией и обозначается x ˅ у. Таким образом, (x, у) = х ˅ у. Функция (x, у), являющаяся отрицанием функции (x, у), носит название стрелка Пирса (или Функция Вебба) и обозначается х ↓ у. Итак, (x, у) = (х ˅ у)` = х ↓ у.
Функция (x, у) называется импликацией и обозначается х → у, т.е. (х, у)=х → у. Аргумент х в этой функции называется посылкой импликации, а аргумент у - ее следствием. Отрицанием импликации является функция (x, у) = (х → у)'. Специального названия она не имеет. Функция (x, у) называется антиимпликацией или обратной импликацией, потому что представляет собой импликацию с посылкой у и следствием x. Таким образом, (x, у) = у → х. Ее отрицанием является функция (х, у) = (у→ х)', не имеющая названия.
Функция (x, у) называется эквивалентностью и обозначается х ↔ у, так что (x, у) = х ↔ у. Она принимает значение 1 тогда и только тогда, когда оба ее аргумента принимают одинаковые значения. Функция (x, у), являющаяся отрицанием функции (x, у), называется сложением по модулю два, или суммой Жегалкина, и обозначается х+у.
Наконец остаются еще две пары функций. В первую пару входят функции (x, у) и (x, у). Первая из них принимает всегда те же самые значения, что и ее первый аргумент, т.е. (x, у) = х, а вторая функция является отрицанием первой: (x, у) =x`. Во вторую пару входят функции (x, у) и (x, у). Первая из них принимает всегда те же самые значения, что и ее второй аргумент, т.е. (x, у) = у, а вторая функция является отрицанием первой: (x, у) = у`.
Теперь нужно установить некоторые важнейшие свойства введенных функций. Две булевы функции ⨍(x, у) и (x, у) называются равными, если каждому набору значений аргументов х, у обе функции сопоставляют один и тот же элемент из множества
