Интегральная сумма и определенный интеграл

Пусть функция у=?(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия.

1. разбиваем отрезок на n частей произвольным образом

2. В каждом частичном отрезке [x_i-1;x_i], i = 1,2,...,n выберем произвольную точку с_i є [x_i-1; x_i] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину ?(с_i).

3. умножим ее ? (с_i).  на длину ?x_i=x_i-x_i-1соответствующего частичного отрезка: ? (с_i) • ?х_i.

4. Составим сумму S_n всех таких произведений:

Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = ?(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через ? длину наибольшего частичного отрезка: ?= max ?x_i(i = 1,2,..., n).

5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда n ? ? так, что ??0.

Если при этом интегральная сумма S_n имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = ?(х) на отрезке [а; b] и обозначается Таким образом,

определенный интеграл существует, если функция непрерывна