функция получит приращение ▲y=f(x0+▲x)-f(x0)
Опр. Производной функции y=f(x) в точке x0 называется предел при ▲х стремящейся к 0, отношение приращения функции в этой точке приращению аргумента, при условии, что предел существует
у′=lim▲x→0 ▲у/▲х= lim▲x→0f(x0+▲x)- f(x0)/ ▲х
Если для некоторого значения х0 выполняется условие, что
lim▲x→0 ▲у/▲х=+∞
lim▲x→0 ▲у/▲х=-∞
То говорят, что в точке х0 функция имеет бесконечную производную знака + или знака -.
Если функция f(x) имеем конечную производную в каждой точке х из промежутка Х, то производную f '(x), рассматрива как функцию от х определ. на пром.
Производная фун. y= f(x), может быть найдена по следующей схеме:
- дадим аргументу х приращение, отличное от n найдем наращенное значение функции ▲y = f(х0+▲x)
- составим отношение ▲y/▲x
- Находим придел этого отношения при ▲х->0:
y'= lim▲x→0 ▲у/▲х (Если он существует)
2)Геометрический смысл производной.
Пусть функция у = f(x) определена на (a;b) и пусть точка м на графике функции соответствует значению аргумента х0, а точка Р значению х0+▲х, проведем через точки М и Р прямую и назовем ее секущей
Обозначим через φ (▲x) угол между секущей и осью ox. Этот угол зависит от ▲x, если существует предел lim▲x→0 (▲х)= φ0
то прямую с угловым коофициентом h равным tg φ0, проходящую через точку М с координатами (х0;f(х0)) называют предельным положением секущей МР, при ▲х -> 0.
Опр. Касательной S графику функции у = f(x) в точке М будем называть прельное положение секущей МР, при ▲х стремящейся к нулю из определения следует, что для существования касательной достаточно, чтобы существует предел, причем предел φ0 = углу к оси Ох.