Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись a R означает, что элемент а принадлежит множеству R , то есть а является элементом множества R . В противном случае, когда а не принадлежит множеству R , пишут a R .
Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .
Говорят, что множество А содержится в множестве В (рис.1) или множество А является подмножеством множества В ( в этом случае пишут АВ), если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В . Эта зависимость между множествами называется включением. Для любого множества А имеют место включения: А и А А .
Сумма ( объединение ) множеств А и В (пишется АВ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В. Таким образом, е А В тогда и только тогда, когда либо е А , либо е В .
Произведение ( пересечение ) множеств А и В ( пишется А В , рис.2 ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит и А , и В . Таким образом, е А В тогда и только тогда, когда е А и е В .
Разность множеств А и В (пишется А – В, рис.3) есть множество элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В. Это множество называется также дополнением множества В относительно множества А.
Симметричная разность множеств А и В (пишется А\В) есть множество:
А \ В = ( А – В ) ( В – А ).
Свойства операций над множествами:
Примеры.
1. Множество детей является подмножеством всего населения.
2. Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является множество натуральных чисел.
3. Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является множество действительных чисел.
4. Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.