Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленныйотрезок, для которого указано его начало и конец:
В данном случае началом отрезка является точка 
, концом отрезка – точка 
. Сам вектор обозначен через 
. Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор 
, и это уже совершенно другой вектор. Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи.
Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором 
. У такого вектора конец и начало совпадают.
!!! Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства.
Обозначения: Многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении 
и сказали, там же вверху еще стрелку ставят! Верно, можно записать со стрелкой: 
, но допустима и запись 
, которую я буду использовать в дальнейшем. Почему? Видимо, такая привычка сложилась из практических соображений, слишком разнокалиберными и мохнатыми получались мои стрелки в школе и ВУЗе. В учебной литературе иногда вообще не заморачиваются клинописью, а выделяют буквы жирным шрифтом: 
, подразумевая тем самым, что это вектор.
То была стилистика, а сейчас о способах записи векторов:
1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.
2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
В частности, наш вектор 
можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой 
.
Длиной или модулем ненулевого вектора 
называется длина отрезка 
. Длина нулевого вектора 
равна нулю. Логично.
Длина вектора обозначается знаком модуля: 
, 
Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.
То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор.
Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки:
Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор. Почему свободный? Потому что в ходе решения задач вы можете «пристроить» тот или иной вектор в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. Это очень крутое свойство! Представьте вектор произвольной длины и направления – его можно «клонировать» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ. Есть такая студенческая присказка: Каждому лектору в ж**у по вектору. Ведь не просто остроумная рифма, всё математически корректно – вектор можно пристроить и туда. Но не спешите радоваться, чаще страдают сами студенты =)
Итак, свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок…», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства.
Следует отметить, что с точки зрения физики понятие свободного вектора в общем случае некорректно, и точка приложения вектора имеет значение. Действительно, прямой удар одинаковой силы по носу или по лбу хватит развивать мой дурацкий пример влёчет разные последствия.
Далее, если не оговаривается иное, речь пойдёт только о свободных векторах.
Действия с векторами. Коллинеарность векторов
В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии.
Правило сложения векторов по правилу треугольников
Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора 
и 
:
Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор 
от конца вектора 
:
Суммой векторов 
и 
является вектор 
. Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору 
, а затем по вектору 
. Тогда сумма векторов 
представляет собой вектор результирующего пути 
с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.
Кстати, если вектор 
отложить от начала вектора 
, то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.
Умножение вектора на число
Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».
Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.
Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: 
, при этом возможна детализация: 
(векторы сонаправлены) или 
(векторы направлены противоположно).
Произведением ненулевого вектора 
на число 
является такой вектор 
, длина которого равна 
, причём векторы 
и 
сонаправлены при 
и противоположно направлены при 
.
Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:
Разбираемся более детально:
1) Направление. Если множитель 
отрицательный, то вектор меняет направление на противоположное.
2) Длина. Если множитель заключен в пределах 
или 
, то длина векторауменьшается. Так, длина вектора 
в два раза меньше длины вектора 
. Если множитель 
по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в 
раз.
3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны, при этом один вектор выражен через другой, например, 
. Обратное тоже справедливо: если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному)вектор.
4) Векторы 
сонаправлены. Векторы 
и 
также сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.
Какие векторы являются равными?
Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».
С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.
Координаты вектора на плоскости и в пространстве
Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы 
и 
:
Векторы 
и 
ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность.
Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: 
.
Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов. Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.
Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.
Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: 
. Координатные векторы нельзя переставлять местами.
Любой вектор 
плоскости единственным образом выражается в виде:
, где 
– числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение 
называется разложением вектора 
по базису 
.
Ужин подан:
! ВСЕМ настоятельно рекомендую прочитать ВСЁ!
Начнем с первой буквы
алфавита: . По чертежу хорошо видно, что при разложении вектора по базису используются только что рассмотренные:
1) правило умножения вектора на число: 
и 
;
2) сложение векторов по правилу треугольника: 
.
А теперь мысленно отложите вектор 
от любой другой точки плоскости. Совершенно очевидно, что его разложение 
будет «неотступно следовать за ним». Вот она, свобода вектора – вектор «всё носит при себе». Это свойство, разумеется, справедливо для любого вектора. Забавно, что сами базисные (свободные) векторы 
не обязательно откладывать от начала координат, один можно нарисовать, например, слева внизу, а другой – справа вверху, и от этого ничего не изменится! Правда, делать так не нужно, поскольку преподаватель тоже проявит оригинальность и нарисует вам «зачтено» в неожиданном месте.
Векторы 
, 
иллюстрируют в точности правило умножения вектора на число, вектор 
сонаправлен с базисным вектором 
, вектор 
направлен противоположно по отношению к базисному вектору 
. У данных векторов одна из координат равна нулю, дотошно можно записать так:
А базисные векторы, к слову, так: 
(по сути, они выражаются сами через себя).
И, наконец: 
, 
. Кстати, что такое вычитание векторов, и почему я не рассказал о правиле вычитания? Где-то в линейной алгебре, уже не помню где, я отмечал, что вычитание – это частный случай сложения. Так, разложения векторов «дэ» и «е» преспокойно записываются в виде суммы: 
, 
. Переставьте слагаемые местами и проследите по чертежу, как чётко в этих ситуациях работает старое доброе сложение векторов по правилу треугольника.
Рассмотренное разложение вида 
иногда называют разложением вектора в системе орт (т.е. в системе единичных векторов). Но это не единственный способ записи вектора, распространён следующий вариант:
Или со знаком равенства: 
Сами базисные векторы записываются так: 
и 
То есть, в круглых скобках указываются координаты вектора. В практических задачах используются все три варианта записи.
Сомневался, говорить ли, но всё-таки скажу: координаты векторов переставлять нельзя. Строго на первом месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору 
, строго на втором месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору 
. Действительно, 
и 
– это ведь два разных вектора.
С координатами на плоскости разобрались. Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничусь одним вектором, который для простоты отложу от начала координат:
Перед вами ортонормированный базис 
трехмерного пространства и прямоугольная система координат, единичные векторы 
данного базиса попарно ортогональны: 
и 
. Ось 
наклонена под углом 45 градусов только для того, чтобы складывалось визуальное впечатление пространства. О том, как правильно выполнять плоские и трехмерные чертежи на клетчатой бумаге, читайте в самом начале методичкиГрафики и свойства функций.
Любой вектор 
трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису 
: 
, где 
– координаты вектора 
(числа) в данном базисе.
Пример с картинки: 
. Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число: 
(красная стрелка), 
(зеленая стрелка) и 
(малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов: 
. Вектор суммы 
начинается в исходной точке отправления (начало вектора 
) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора 
).
Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор 
от любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение 
«останется при нём».
Аналогично плоскому случаю, помимо записи 
широко используются версии со скобками: 
либо 
.
Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор 
(дотошно 
) – запишем 
;
вектор 
(дотошно 
) – запишем 
;
вектор 
(дотошно 
) – запишем 
.
Базисные векторы записываются следующим образом:
Вот, пожалуй, и все минимальные теоретические знания, необходимые для решения задач аналитической геометрии. Возможно многовато терминов и определений, поэтому чайникам рекомендую перечитать и осмыслить данную информацию ещё раз. Да и любому читателю будет полезно время от времени обращаться к базовому уроку для лучшего усвоения материала. Коллинеарность, ортогональность, ортонормированный базис, разложение вектора – эти и другие понятия будут часто использоваться в дальнейшем. Отмечу, что материалов сайта недостаточно для сдачи теоретического зачета, коллоквиума по геометрии, так как все теоремы (к тому же без доказательств) я аккуратно шифрую – в ущерб научному стилю изложения, но плюсом к вашему пониманию предмета. Для получения обстоятельной теоретической справки прошу следовать на поклон к профессору Атанасяну.
А мы переходим к практической части:
Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах
Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть, даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.
Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.
Как найти вектор по двум точкам?
Если даны две точки плоскости 
и 
, то вектор 
имеет следующие координаты:
Если даны две точки пространства 
и 
, то вектор 
имеет следующие координаты:
То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.
Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора 
. Формулы в конце урока.
Пример 1
Даны две точки плоскости 
и 
. Найти координаты вектора 
Решение: по соответствующей формуле:
Как вариант, можно было использовать следующую запись: 
Эстеты решат и так: 
Лично я привык к первой версии записи.
Ответ: 
По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов чайникам, не поленюсь:
Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов:
Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.
Координаты же вектора – это его разложение по базису 
, в данном случае 
. Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости 
.
Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: 
, асмысл координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства.
Дамы и господа, набиваем руку:
Пример 2
а) Даны точки 
и 
. Найти векторы 
и 
.
б) Даны точки 
и 
. Найти векторы 
и 
.
в) Даны точки 
и 
. Найти векторы 
и 
.
г) Даны точки 
. Найти векторы 
.
Пожалуй, достаточно. Это примеры для самостоятельного решения, постарайтесь ими не пренебрегать, окупится ;-). Чертежи делать не нужно. Решения и ответы в конце урока.
Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю». Сразу извиняюсь, если где ошибся =)
Как найти длину отрезка?
Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.
Если даны две точки плоскости 
и 
, то длину отрезка 
можно вычислить по формуле 
Если даны две точки пространства 
и 
, то длину отрезка 
можно вычислить по формуле 
Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: 
и 
, но более стандартен первый вариант
Пример 3
Даны точки 
и 
. Найти длину отрезка 
.
Решение: по соответствующей формуле:
Ответ: 
Для наглядности выполню чертёж
Отрезок 
– это не вектор, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ 
можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.
Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:
Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».
Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:
Читаем!!!
Обратите внимание на важный технический приём – вынесение множителя из-под корня. В результате вычислений у нас получился результат 
и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: 
. Конечно, оставить ответ в виде 
не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.
Вот другие распространенные случаи:
Нередко под корнем получается достаточно большое число, например 
. Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: 
. Да, разделилось нацело, таким образом: 
. А может быть, число 
ещё раз удастся разделить на 4? 
. Таким образом: 
. У числа 
последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: 
. В результате:
Готово.
Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.
В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.
Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:
Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.
Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:
Пример 4
Даны точки 
и 
. Найти длину отрезка 
.
Решение и ответ в конце урока.
Как найти длину вектора?
Если дан вектор плоскости 
, то его длина вычисляется по формуле 
.
Если дан вектор пространства 
, то его длина вычисляется по формуле 
.
Данные формулы (как и формулы длины отрезка) легко выводятся с помощью небезызвестной теоремы Пифагора.
Пример 5
Даны точки 
и 
. Найти длину вектора 
.
Я взял те же точки, что и в Примере 3.
Решение: Сначала найдём вектор 
:
По формуле 
вычислим длину вектора:
Ответ: 
Не забываем указывать размерность – «единицы»! Всегда ли, кстати, нужно рассчитывать приближенное значение (в данном примере 8,94), если этого не требуется в условии? С моей точки зрения, лишним не будет, отсутствие приближенного значения тянет на придирку. Округление целесообразно проводить до 2-3-х знаков после запятой.
Выполним чертеж к задаче:
В чём принципиальное отличие от Примера 3? Отличие состоит в том, что здесь речь идёт о векторе, а не об отрезке. Вектор можно переместить в любую точку плоскости.
А в чём сходство Примера 3 и Примера 5? Геометрически очевидно, что длина отрезка 
равна длине вектора 
. Так же очевидно, что длина вектора 
будет такой же. По итогу: 
Задачу 3 можно было решить и вторым способом, повторю условие: Даны точки 
и 
. Найти длину отрезка 
.
Вместо применения формулы 
, поступаем так:
1) Находим вектор 
.
2) А теперь ссылаемся на то, что длина отрезка 
равна длине вектора 
:
Этот способ широко практикуется в ходе решений задач аналитической геометрии.
Вышесказанное справедливо и для пространственного случая
Для тренировки:
Пример 6
а) Даны точки 
и 
. Найти длину вектора 
.
б) Даны векторы 
, 
, 
и 
. Найти их длины.
Решения и ответы в конце урока.
Действия с векторами в координатах
В первой части урока мы рассматривали правила сложения векторов и умножения вектора на число. Но рассматривали их с принципиально-графической точки зрения. Посмотрим, как данные правила работают аналитически – когда заданы координаты векторов:
1) Правило сложения векторов. Рассмотрим два вектора плоскости 
и 
. Для того, чтобы сложить векторы, необходимо сложить их соответствующие координаты: 
. Как просто. На всякий случай запишу частный случай – формулу разности векторов: 
. Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, добавим например, вектор 
и найдём сумму трёх векторов: 
Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы 
, то их суммой является вектор 
.
2) Правило умножения вектора на число. Ещё проще! Для того чтобы вектор 
умножить на число 
, необходимо каждую координату данного вектора умножить на число 
:
.
Для пространственного вектора 
правило такое же:
Приведённые факты строго доказываются в курсе аналитической геометрии.
Примечание: Данные правила справедливы не только для ортонормированных базисов 
, 
но и для произвольного аффинного базиса плоскости или пространства. Более подробно о базисах читайте в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.
Пример 7
Даны векторы 
и 
. Найти 
и 
Решение чисто аналитическое:
Ответ: 
Чертеж в подобных задачах строить не надо, тем не менее, геометрическая демонстрация будет весьма полезной. Если считать, что векторы заданы в ортонормированном базисе 
, то графическое решение задачи будет таким: 
Коль скоро речь идет только о векторах в ортонормированном базисе, то оси рисовать не обязательно. Достаточно начертить базисные векторы, причём, где угодно. Ну, и координатную сетку для удобства. Строго говоря, ранее я допустил небольшой огрех – в некоторых чертежах урока тоже можно было не чертить декартову прямоугольную систему координат. Векторам она не нужна, им нужен базис. Впрочем, лучше всегда рисуйте, а то напугаете всех своими знаниями =)
Как видите, графический способ решения привёл к тем же результатам, что и аналитический способ решения. Ещё раз заметьте свободу векторов: любую из трёх «конструкций» можно переместить в любую точку плоскости.
Для векторов в пространстве можно провести аналогичные выкладки. Но там чертежи строить значительно сложнее, поэтому ограничусь аналитическим решением (на практике, собственно, бОльшего и не надо):
Пример 8
Даны векторы 
и 
. Найти 
и 
Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:
Ответ: 
И в заключение занятный пример с векторами на плоскости:
Пример 9
Даны векторы 
. Найти 
и 
Это задача для самостоятельного решения.
Какой вывод? Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты, главное, не допустить вычислительных ошибок. Следующие рекомендуемые к изучению уроки:
!!! Скалярное произведение векторов
Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов
Векторное и смешанное произведение векторов
Это, так скажем, вектор-минимум студента =)
Любите векторы, и векторы полюбят вас!
Решения и ответы:
