Теорема: Пусть числовой ряд
|
u1+u2+...+un+... , |
(1) |
сходится, а S - его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член un стремится к нулю .
Простейшие свойства сходящихся рядов.
1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда. Отсюда следует, что изменение или выбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.
2. Если ряд 
сходится, то 
.
3. Если ряд сходится, то сходится ряд 
и имеет место равенство
.
4. Если ряды и 
сходятся, то сходится и ряд 
имеет место равенство
.
5. Если ряд сходится, то 
.
Отсюда следует
Признак расходимости ряда. Если 
, то ряд расходится.
