Определение:
Частной суммой числового ряда называется сумма . Числовой ряд называется сходящимся, если существует предел , при этом называется суммой ряда.
Критерий Коши сходимости числового ряда:
Теорема:
Числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого существует такое , что для всех
Здесь:
– математический значок суммы;
хk– общий член ряда (запомните этот простой термин);
k – переменная-«счётчик». Запись обозначает, что проводится суммирование от 1 до «плюс бесконечности», то есть, сначала у нас , затем , потом , и так далее – до бесконечности.
Доказательство:
Заметим, что . После этого утверждение превращается в критерий Коши сходимости последовательности .
Необходимое условие сходимости:
Теорема:
Если ряд сходится, то .
Доказательство:
Из свойств пределов следует, что . Отсюда следует, что .