Метод замены переменного в определенном интеграле.
Теорема 5. Пусть функция f(x) непрерывна на интервале (, а функция имеет непрерывную производную на интервале , причем при всех .
Тогда если , , , , т справедлива формула замены переменного в определенном интеграле
Так как , , а функция f(x) непрерывна на интервале , то по формуле Ньютона-Лейбница находим
=Ф(b)‑Ф(a)
Где для всех .
Функция является первообразной для функции, стоящей под знаком интеграла в правой части формулы условия теоремы, так как
Применяя к функции формулу Ньютона-Лейбница и учитывая, что =b, получаем
=Ф(b)‑Ф(a)
Из последнего и первого равенств доказательства следует формула замены переменного в определенном интеграле.
2)Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Терема 6. Если функции u(x) и v(x) имеют на отрезке непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям
Интегрируя на отрезке тождество
где - непрерывные функции, получаем
По формуле Ньютона-Лейбница находим
Поэтому предпоследнее равенство можно записать в виде формулы интегрирования по частям.