Пусть интегрируема на . Тогда на определена функция
называемя интегралом с переменным верхним пределом
Теорема:
Пусть интегрируема на . Тогда функция непрерывна на .
Доказательство:
Пусть . Тогда
Функция ограничена на (поскольку она интегрируема), так что при некотором
.
Следовательно
при ,
что и требовалось показать.
Теорема:
Пусть функция интегрируема на и непрерывна в точке . Тогда функция имеет производную в точке и
Доказательство:
Вычитая из предпологаемый предел , имеем при
.
Пусть . Тогда в силу непревности в точке , если .
Следовательно, при (и )
Но это означает, что
при
что и требовалось показать.
Теорема:
Пусть функция непрерывна на . Тогда она имеет на первообразную
, где .
Доказательство:
следует из формулы (2) при , и формулы (3) при , если учесть, что в последнем случае можно представить в виде .
Основная теорема интегрального исчисления:
Пусть функция непрерывна на отрезке и - её первообразная на этом отрезке. Тогда
.
Это формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
Доказательство:
Функция является первоообразной для функции на отрезке . Поэтому
,
т.е.
.
Отсюда следует при получаем . Выражая из последнего равентсва и подставляя его в предшевствующее равентсво получаем, что
.
Последнее равенство при совпадает с (4).