Экстремум функции, необходимое условие экстремума функции

Пусть функция y = f(x) непрерывна на (a, b) и пусть x₀(a,b)

Определение: 

Значение f(x₀) называется максимумом (минимумом) функции f, если в некоторой малой окрестности числа x₀ значение f(x₀) является наибольшим (наименьшим), т.е. для любого числа x из этой окрестности f(x₀) > f(x) (f(x₀) < f(x)). Максимум и минимум функцииf называется экстремумом функции f.

Теорема:

Пусть функция y = f(x) дифференцируема на (a, b), число x₀(a,b) и f(x₀) является экстремумом функции f. Тогда f'(x₀) = 0.

Доказательство:

Пусть f(x₀) является максимумом функции f, тогда

Переходя к пределу, получаем

Так как по условию теоремы при x = x₀ производная функции f существует, то f'(x₀) = 0. Аналогично доказывается, что если f(x₀) является минимумом функции f , то f'(x₀) = 0.

Теорема доказана.

Обратное для теоремы утверждение неверно, т.е. если f'(x₀) = 0, то f(x₀) может не быть экстремумом функции f. Например, функция y = x³ имеет производную y' = 3x², которая при x = 0 равна нулю. Однако, как видно из рис. 3, при x = 0 функция y = x³ не имеет экстремума.

Если окажется, что при x = x₀непрерывная функция y = f(x) не дифференцируема, то также нельзя однозначно сказать, будет значение f(x₀) экстремумом функции f или нет.

Например, функции y = | x |, y = ³√x не дифференцируемы при x = 0. Однако функция y = | x |при x = 0 имеет экстремум (рис. 4), а функция y = ³√x при x = 0 экстремума не имеет (рис. 5).

Определение:

Точка кривой y = f(x), где производная функции f обращается в ноль или неопределенна, называется критической точкой графика функции f.

Точка (x₀, f'(x₀)) кривой y = f(x) называется точкой максимума (минимума) графика функции f , или точкой экстремума графика функции f , если f'(x₀) – максимум (минимум) функции f.