Пусть функция f(x)
- непрерывна на отрезке [a, b];
- дифференцируема в интервале (a, b);
- на концах отрезка [a, b] принимает равные значения.
Тогда существует точка c О (a, b) такая, что f'(c) = 0.
Из теоремы Ролля следует, что существует точка с О (a, b), в которой касательная к графику функции f(x) параллельна оси ОX
Доказательство:
Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.
Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.
