К системе 1.16 добавляется 3 материальных уравнения: D→= εΕ→; B→=μ H→; j→= σΕ→
μ и σ - магнитная и диэлектрическая проницаемость
2-е уравнение - электрическое поле может возникать при изменении магнитного поля
4-е уравнение - электрическое поле возникает при наличии зарядов
3-е уравнение - магнитного поля может возникнуть при изменении электрического поля и протекании тока.
1-е уравнение - магнитный заряд не существует
Решение системы 1.16 позволит найти параметры электрического и магнитного полей любой точки пространства в произвольный момент времени.Для решения уравнений необходимо знать начальные и граничные условия.
Граничные условия на поверхности раздела.
Для того чтобы решить СДУ Максвелла 1.16 необходимо знать граничные условия.
Чтобы определить эти условия для каждого уравнения на границе двух сред с различными диэлектрическими проницаемо масти μ, ε. Пусть свет распространяется из среды μ1, ε1 в среду μ2, ε2 . На поверхности етой границы построим цилиндр с основанием ∆a и высотой ∆h
Рассмотрим четыре уравнения системы 1.16
div B→=0 внутри цилиндра
Используем теорему Гауса согласно которой:
∫∫∫vd divF→(r)dV= ∫∫s F→(r→)N→dS (1.18)
∫∫∫vd divB→ dV= ∫∫s B→ N→dS = 0 (1.19)
Для цилиндра малого объема 1.19 можна представить в виде:
B1→ N1→δ A + B2→ N2→δ A + боковая поверхность = 0
Если δ стремится к нулю то вклад от боковой поверхности будет равен нулю.
N1→= N→: N2→ N→; B1→ N→- B2→ N→=0; B1→ N→= Bn→; Bn1= Bn2 (1.20)
Нормальная компонента вектора магнитной индукции непрерывна на границе раздела.
Аналогично рассмотри м второе уравнение 1.16 : div D→= 4 πρ
Применяя теорему 1.18 имея div D→: ∫∫∫v divD→ dV= ∫∫s D→ N→dS = ∫∫∫v 4 πρ dV (1.21)
∫∫∫vρ dV = Q
Определяет заряда внутри цилиндра если высота цилиндра стремится к нулю то из законов сохранения заряда имеем
Q= ∫∫ δA ρˆ dS 1.22
ρˆ - поверхностная плотность заряда, тогда 1.21 пишется в виде
(D1→ N1→+ D2→ N2→) δA= 4 πρˆ∆h
D N1 - D N2 = 4 πρ 1.23
При наличии на поверхности раздела заряда с плотностью ρˆ нормальная компонента электромагнитной индукции при переходе через ету поверхность испытывает скачок равный 4 πρˆ
Рассмотрим первое уравнение 1.16
rotE→= - 1/c dB/dt
Используем теорему Стокса
∫∫srotE→(r→)b→dS= ∫c F→(r→) dr 1.24
∫∫srotE→ b→dS= ∫c E→ dr=∫∫s- 1/c dB/dt b→dS 1.25
P1Q1P2Q2
E1→t1→/E2→t2→+ P1Q1+P2Q2=- 1/c dB/dt b→ P1Q1+P2Q2
P1 P2= Q1 Q2→ 0
t1→= t→
t2→=- t→
E1→t1→-E2→t→=0
Et - тангенциальная составляющая напряженности электрического поля непрерывна на границе раздела.
rotH→=4π/c(j→+1/4π •dD/dt )
После применения теоремы Стокса 1.24 имеем
Ht1=Ht2= 4 πρ/c jˆ
При наличии тока с поверхностной плотностью jˆ тангенциальная компонента напряженности магнитного поля Et испытывает на границе скачок равный 4 πρ/c jˆ
Если оптическая среда диэлектрик для которой
jˆ=0, ρˆ=0.
Граничные условия
Bn1=Bn2 Dn1=Dn2 Et1=Et2 Ht1=Ht2
