Показатели вариации

{Показатели вариации}

Вариация — это различия индивидуальных значений признака у единиц изучаемой совокупности. Исследование вариации имеет большое практическое значение и является необходимым звеном в экономическом анализе. Необходимость изучения вариации связана с тем, что средняя, являясь равнодействующей, выполняет свою основную задачу с разной степенью точности: чем меньше различия индивидуальных значений признака, подлежащих осреднению, тем однороднее совокупность, а, следовательно, точнее и надежнее средняя, и наоборот. Следовательно по степени вариации можно судить о границах вариации признака, однородности совокупности по данному признаку, типичности средней, взаимосвязи факторов, определяющих вариацию.

Изменение вариации признака в совокупности осуществляется с помощью абсолютных и относительных показателей.

Абсолютные показатели вариации включают:

размах вариации $R$
среднее линейное отклонение $\overline{d}$
дисперсию $\sigma^2$
среднее квадратическое отклонение $\sigma$

Размах вариации (R)

Размах вариации — это разность между максимальным и минимальным значениями признака

$chart?cht=tx&chl=R%20=%20X_{max}%20-%20X$

Он показывает пределы, в которых изменяется величина признака в изучаемой совокупности.

Пример

Опыт работы у пяти претендентов на предшествующей работе составляет: 2,3,4,7 и 9 лет.
Решение: размах вариации = 9 — 2 = 7 лет.

Для обобщенной характеристики различий в значениях признака вычисляют средние показатели вариации, основанные на учете отклонений от средней арифметической. За отклонение от средней принимается разность $chart?cht=tx&chl=(x_i%20-%20%5Coverline{$ .

При этом во избежании превращения в нуль суммы отклонений вариантов признака от средней (нулевое свойство средней) приходится либо не учитывать знаки отклонения, то есть брать эту сумму по модулю $\Sigma \mid x_i - \overline{x} \mid$ , либо возводить значения отклонений в квадрат $\Sigma \mid x_i - \overline{x} \mid^2$

Среднее линейное и квадратическое отклонение

Среднее линейное отклонение $\overline {d}$ — это средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от средней.

Среднее линейное отклонение простое:

нение взвешенное применяется для сгруппированных данных:

Среднее линейное отклонение в силу его условности применяется на практике сравнительно редко (в частности, для характеристики выполнения договорных обязательств по равномерности поставки; в анализе качества продукции с учетом технологических особенностей производства).

Среднее квадратическое отклонение

Наиболее совершенной характеристикой вариации является среднее квадратическое откложение, которое называют стандартом (или стандартным отклонение). Среднее квадратическое отклонение ( $\sigma$ ) равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической:

Среднее квадратическое отклонение простое:

Среднее квадратическое отклонение взвешенное применяется для сгруппированных данных:

Между средним квадратическим и средним линейным отклонениями в условиях нормального распределения имеет место следующее соотношение: $\sigma$ ~ 1,25.

Среднее квадратическое отклонение, являясь основной абсолютной мерой вариации, используется при определении значений ординат кривой нормального распределения, в расчетах, связанных с организацией выборочного наблюдения и установлением точности выборочных характеристик, а также при оценке границ вариации признака в однородной совокупности.

Дисперсия

Дисперсия $\sigma^2$ - представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

Дисперсия простая:

В нашем примере: $\sigma^2 = 6.20$

Дисперсия взвешенная:

Более удобно вычислять дисперсию по формуле:

которая получается из основной путем несложных преобразований. В этом случае средний квадрат отклонений равен средней из квадратов значений признака минус квадрат средней.

Для несгрупиированных данных:

Для сгруппированных данных:

Вариация альтернативного признака заключается в наличии или отсутствии изучаемого свойства у единиц совокупности. Количественно вариация альтернативного признака выражается двумя значениями: наличие у единицы изучаемого свойства обозначается единицей (1), а его отсутствие — нулем (0). Долю единиц, обладающих изучаемым признаком, обозначают буквой $p$ , а долю единиц, не обладающих этим признаком — через $q$ . Учитывая, что p + q = 1 (отсюда q = 1 — p), а среднее значение альтернативного признака равно $p$

средний квадрат отклонений

Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным свойством ( $p$ ), на долю единиц, данным свойством не обладающих ( $q$ ).

Максимальное значение средний квадрат отклонения (дисперсия) принимает в случае равенства долей, т.е. когда $p = q = 0,5$ т.е. $\sigma^2 = 0.25$ . Нижняя граница этого показателя равна нулю, что соответствует ситуации, при которой в совокупности отсутствует вариация. Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака:

Среднее квадратическое отклонение $\sigma$ равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической.

Относительные показатели вариации

Относительные показатели вариации включают:

Коэффициент осцилляции $V_r$
Относительное линейное отклонение (линейный коэффициент варианции) $chart?cht=tx&chl=V_{%5Coverline{d}}$
Коэффициент вариации (относительное отклонение) $chart?cht=tx&chl=V_{%5Csigma}$

Сравнение вариации нескольких совокупностей по одному и тому же признаку, а тем более по различным признакам с помощью абсолютных показателей не представляется возможным. В этих случаях для сравнительной оценки степени различия строят относительные показатели вариации. Они вычисляются как отношения абсолютных показателей вариации к средней:

Коэффициент осцилляции	$chart?cht=tx&chl=V_r%20=%20%5Cfrac%20{R}$
Относительное линейное отклонение	$chart?cht=tx&chl=V_d%20=%20%5Cfrac%20{%5$
Коэффициент вариации	$chart?cht=tx&chl=V_{%5Csigma}%20=%20%5Cf$

Рассчитываются и другие относительные характеристики. Например, для оценки вариации в случае асимметрического распределения вычисляют отношение среднего линейного отклонения к медиан

$chart?cht=tx&chl=V_{Me}%20=%20%5Cfrac%20$ ,

так как благодаря свойству медианы сумма абсолютных отклонений признака от ее величины всегда меньше, чем от любой другой.

В качестве относительной меры рассеивания, оценивающей вариацию центральной части совокупности, вычисляют относительное квартильное отклонение $chart?cht=tx&chl=V_g%20%5Cfrac%20{Q}{Me}$ , где $Q$ — средний квартиль полусуммы разности третьего (или верхнего) квартиля ( $Q_3$ ) и первого (или нижнего) квартиля ( $Q_1$ ).

$chart?cht=tx&chl=Q%20=%20%5Cfrac%20{Q_3%$ .

На практике чаще всего вычисляют коэффициент вариации. Нижней границей этого показателя является нуль, верхнего предела он не имеет, однако известно, что с увеличением вариации признака увеличивается и его значение. Коэффициент вариации является в известном смысле критерием однородности совокупности (в случае нормального распределения).

Рассчитаем коэффициент вариации на основе среднего квадратического отклонения для следующего примера. Расход сырья на единицу продукции составил (кг): по одной технологии $chart?cht=tx&chl=%5Coverline%20{x_1}%20=$ при $\sigma_1 = 4$ , а по другой — $chart?cht=tx&chl=%5Coverline%20{x_2}%20=$ при $\sigma_2 = 3$ . Непосредственное сравнение величины средних квадратических отклонений могло бы привести к неверному представлению о том, что вариация расхода сырья по первой технологии интенсивнее, чем по второй ( $\sigma_1 > \sigma_2$ . Относительная мера вариации ( $chart?cht=tx&chl=V%20=%20%5Cfrac%20{%5Cs$ позволяет сделать противоположный вывод

Правило сложения дисперсий

Для оценки влияния факторов, определяющих вариацию, используют прием группировки: совокупность разбивают на группы, выбрав в качестве группировочного признака один из определяющих факторов. Тогда наряду с общей дисперсией, рассчитанной по всей совокупности, вычисляют внутигрупповую дисперсию (или среднюю из групповых) и межгрупповую дисперсию (или дисперсию групповых средних).

Общая дисперсия $\sigma^2$ характеризует вариацию признака во всей совокупности, сложившуюся под влиянием всех факторов и условий.

Межгрупповая дисперсия $\delta^2$ измеряет систематическую вариацию, обусловленную влиянием фактора, по которому произведена группировка:

$chart?cht=tx&chl=%5Coverline%20{x_i}$ — групповые средние,
$n_i$ — численность единиц i-й группы

Внутригрупповая дисперсия оценивает вариацию признака, сложившуюся по влиянием других, неучитываемых в данном исследовании факторов и независящую от фактора группировки. Она определяется как средняя из групповых дисперсий.

$G^2_i$ — дисперсия i-ой группы.

Все три дисперсии ( $G^2 \delta^2 \overline {\sigma^2_i}$ ) связаны между собой следующим равенством, которое известно как правило сложения дисперсий:

$\sigma^2 = \delta^2 + \overline {\sigma^2_i}$

на этом соотношении строятся показатели, оценивающие влияние признака группировки на образование общей вариации. К ним относятся эмпирический коэффициент детерминации ( $\eta^2$ ) и эмпирическое корреляционное отношение ( $\eta$ )

Эмпирический коэффициент детерминации ( $\eta^2$ ) характеризует долю межгрупоовой дисперсии в общей дисперсии:

$chart?cht=tx&chl=%5Ceta^2%20=%20%5Cfrac%$

и показывает насколько вариация признака в совокупности обусловлена фактором группировки.

Эмпирическое корреляционное отношение (!!\eta = \sqrt{ \frac{\delta^2}{\sigma^2} }

оценивает тесноту связи между изучаемым и группировочным признаками. Предельными значениями $\eta$ являются нуль и единица. Чем ближе $\eta$ к единице, тем теснее связь.

Правило сложения дисперсий для доли признака записывается так:

а три вида дисперсий доли для сгруппированных данных определяется по следующим формулам:

общая дисперсия:

Формулы межгрупповой и внутригрупповой дисперсий:

Характеристики формы распределения

Для получения представления о форме распределения используются показатели среднего уровня (средняя арифметическая, мода, медиана), показатели вариации, ассиметрии и эксцесса.

В симметричных распределениях средняя арифметическая, мода и медиана совпадают ( $\overline {X} = M_e = M_0$ . Если это равенство нарушается — распределение ассиметрично.

Простейшим показателем ассиметрии является разность $\overline {x} - M_0$ , которая в случае правосторонней ассиметрии положительна, а при левосторонней — отрицательна.

Ассиметричное распределение

Для сравнения ассиметрии нескольких рядов вычисляется относительный показатель

$chart?cht=tx&chl=A%20=%20%5Cfrac%20{x%20$

В качестве обобщающих характеристик вариации используются центральные моменты распределения $R$ -го порядка $\mu_R$ , соответствующие степени, в которую возводятся отклонения отдельных значений признака от средней арифметической:

Для несгруппированных данных:

Для сгруппированных данных:

Момент первого порядка $R = 1$ согласно свойству средней арифметической равен нулю $m_1 = 0$ .

Момент второго порядка $R = 2$ является дисперсией $m_2 = s^2$ .

Моменты третьего $m_3$ и четвертого $m_4$ порядков используются для построения показателей, оценивающих особенности формы эмпирических распределений.

С помощью момента третьего порядка измеряют степень скошенности или ассиметричности распределения.

$chart?cht=tx&chl=A_S%20=%20%5Cfrac%20{%5$

$A_S$ — коэффициент ассиметрии

В симметричных распределениях $A_S = 0$ , как все центральные моменты нечетного порядка.Неравенство нулю центрального момента третьего порядка указывает на асимметричность распределения. При этом, если $A > 0$ , то асимметрия правосторонняя и относительно максимальной ординаты вытянута правая ветвь; если $A_S < 0$ , то асимметрия левосторонняя (на графике это соответствует вытянутости левой ветви).

Для характеристики островершинности или плосковершинности распределения вычисляют отношение момента четвертого порядка ( $m_4$ ) к среднеквадратическому отклонению в четвертой степени ( $s_4$ ). Для нормального распределения $chart?cht=tx&chl=%5Cfrac%20{%5Cmu_4}{%5C$ , поэтому эксцесс находят по формуле:

$chart?cht=tx&chl=E%20=%20%5Cfrac%20{%5Cm$

Для нормального распределения $E$ обращается в нуль. Для островершинных распределений $E > 0$ , для плосковершинных $E < 0$ .

Эксцесс распределения

Кроме показателей, рассмотренных выше, обобщающей характеристикой вариации в однородной совокупности служит определенный порядок в изменении частот распределения в соответствии с изменениями величины изучаемого признака, называемый закономерностью распределения.

Характер (тип) закономерности распределения может быть выявлен путем построения вариационного ряда на основании большого объема наблюдений, а также такого выбора числа групп и величины интегралов, при котором наиболее отчетливо могла бы проявиться закономерность.

Анализ вариационных рядов предполагает выявление характера распределения (как результата действия механизма вариации), установление функции распределения, проверку соответствия эмпирического распределения теоретическому.

Эмпирическое распределение, полученное на основе данных наблюдения, графически изображается эмпирической кривой распределения с помощью полигона.

На практике встречаются различные типы распределений, среди которых можно выделить симметричные и асимметричные, одновершинные и многовершинные.

Установить тип распределения, означает выразить механизм формирования закономерности в аналитической форме. Многим явлениям и их признакам свойственны характерные формы распределения, которые аппроксимируются соответствующими кривыми. При всем многообразии форм распределения наибольшее распространение в качестве теоретических получили нормальное распределение, распределение Пауссона, биноминальное распределение и др.

Особое место в изучении вариации принадлежит нормальному закону, благодаря его математическим свойствам. Для нормального закона выполняется правило трех сигм, по которому вариация индивидуальных значений признака находится в пределах $\pm 3 \sigma$ от величины средней. При этом в границах $\overline {x} \pm \sigma$ находится около 70% всех единиц, а в пределах $\overline {x} \pm 2 \sigma$ — 95%.

Оценка соответствия эмпирического и теоретического распределений производится с помощью критериев согласия, среди которых широко известны критерии Пирсона, Романовского, Ястремского, Колмогорова.