12.Построение матрицы планирования двухфакторного эксперимента с искомой линейной моделью.
Опыты при математическом планировании эксперимента проводят в определенном порядке, который оформляется в виде таблиц, называемых матрицами планирования эксперимента. В таблице строки соответствуют различным опытам, а столбцы - значениям факторов. Для двухфакторного эксперимента и искомой линейной модели у = b0 + blxl + b2x:2матрица планирования имеет вид (табл.1):
Таблица 1
Матрица планирования
|
№ опыта |
Xj |
x |
у |
|
1 |
-1 |
-1 |
У1 |
|
2 |
+ 1 |
-1 |
У2 |
|
3 |
-1 |
+ 1 |
У3 |
|
4 |
+ 1 |
+ 1 |
У4 |
Здесь в столбцах х1 и x2 показаны кодированные значения факторов, в столбце у - записывают натуральные значения функции отклика (параметра оптимизации) - у1 у2y3 у4 полученные в четырех опытах.
Для полного двух факторного эксперимента и искомой модели в виде нелинейного полинома первой степени у = b0 + b1x1 + b2х2 + b12 x1х2матрица планирования имеет вид (табл.2):
Таблица 2
Матрица планирования
|
№ опыта |
х0 |
xj |
x2 |
XjX2; |
у |
|
1 |
+ 1 |
- |
- |
+ |
У1 |
|
2 |
+ 1 |
+ |
- |
- |
У2 |
|
3 |
+ 1 |
- |
+ |
- |
У3 |
|
4 |
+ 1 |
+ |
+ |
+ |
У4 |
Модель содержит линейные эффекты (x1 и x2) и эффект взаимодействия (x1, х2).
Линейным называют эффект, характеризующий линейную зависимость параметра оптимизации (целевой функции) от соответствующего фактора. Эффектом взаимодействия называют эффект характеризующий совместное влияние нескольких факторов на параметр оптимизации. Этот вид нелинейности связан с тем, что эффект данного фактора зависит от уровня, на котором находиться другой фактор. Соответственно в матрице планирования введен столбец хjх2, который получен перемножением столбцов х1 и х2. Столбец фиктивной переменной х0 (такого фактора нет) вводится для оценки свободного члена b сигма. Эффекты взаимодействия бывают парные (XjX2, X3X4), и тройные (xj x2 x3 ) и т.д.
Рассмотрим два приема построения матриц планирования для линейных моделей.
Первый прием основан на чередовании знаков. В первом столбце (дгj) знаки чередуются поочередно, во втором они чередуются через 2, в третьем - через 4, в четвертом через 8, в пятом - через 16 и т.д. по степеням двойки.
Второй прием основан на последовательном достраивании матрицы. Для этого при добавлении нового фактора необходимо повторить комбинации исходного плана с начала при значении нового фактора на одном уровне, затем на другом (табл. 3).
