Функция f: E->R называется равномерно непрерывной на мн-ве Е, если для любого е>0 существует дельта>0 для любых х1, х2 э Е, |x1-x2|<дельта => | f(x1)-f(x2) |<e
Теорема. Пусть f э С ([a,b]), тогда f равномерно непрерывна на [a,b]
Док-во: зафиксируем е >0. Для каждой точки х на [a,b] выберем окрестность Vдельта(х) так что для любых х1,х2 э Vдельта(х) | f(x1)-f(x2) |<e (следует из критерия Коши непрерывности функции в точке). Из покрытия [a,b] c U Vдельта(х)/2(х) выберем конечное подпокрытие [a,b] c U Vдельта(хk)/2(xk). Пусть дельта = min (дельта(х1)/2 ...... дельта(хk)/2)
тогда для любых х1,х2 э [a,b] | x1-x2 |< дельта => | f(x1)-f(x2) |<e. Действительно, пусть х(штрих) э Vдельта(хk)/2(xk), тогда | х(2штриха) - хk |<=| x(2штриха) - х(штрих) | + | x(штрих) - хk |< дельта + дельта(хk)/2 <= дельта(хk) => x(штрих) и х(2штриха) э Vдельта(хk)(xk) => |f(х(штрих)) - f(х(2штриха)) |<e.
