Посл-ть называется монотонной, если выполнено хотя бы одно из условий:
- для любого n э N (xn<xn+1) возрастающая
- для любого n э N (xn<=xn+1) неубывающая
- для любого n э N (xn>=xn+1) невозрастающая
- для любого n э N (xn>xn+1) убывающая
Теорема:
ограниченная монотонная посл-ть сходится
док-во: Пусть Xn ограничена и возрастает, т.к она ограничена сверху, то существует А=sup(Xn). Зафиксируем е>0. По определению верхней грани существует N такое, что xn>A - e. т.к Xn возрастает, то для любого n>N (A-e<xN<xn<=A) => для любого n>N ( |xn-A|<e ) => lim(Xn)=A. Случаи 2,3,4 аналогично.