{Определение напряжений в наклонных сечениях при плоском напряжённом состоянии}
Напряжения на наклонных площадках при плоском напряженном состоянии
Плоское (двухосное) напряженное состояние встречается при кручении, изгибе и сложном сопротивлении и является одним из наиболее распространенных видов напряженного состояния.
Определим напряжения на наклонных площадках при плоском напряженном состоянии. Рассмотрим элементарный параллелепипед, грани которого являются главными площадками. По ним действуют положи- тельные напряжения σ1 и σ2, а третье главное напряжение σ3=0.
Проведем сечение, нормаль к которому повернута на угол α от большего из двух главных напряжений (σ1) против часовой стрелки (положительное направление α). Напряжения σα и τα на этой площадке будут вызываться как действием σ1,так и действием σ2.
Запишем правила знаков. Будем считать положительными следующие направления напряжений и углов: нормальные напряжения σ – растягивающие; касательные напряжения τ – вращающие элемент по часовой стрелке; угол α –против часовой стрелки от наибольшего из главных напряжений (α≤45o).
Плоское напряженное состояние может быть представлено как суперпозиция (наложение) двух ортогональных (взаимноперпендикулярных) одноосных напряженных
состояний. При этом:
σα =σ′α +σ′′α,
τα =τ′α +τ′′α,
где σ′α, τ′α – напряжения, вызванные действием σ1; σ′′α, τ′′α – напряжения, вызванные действием σ2.Напряжения при одноосном напряженном состоянии (от действия σ1) связаны между собой как
σ′α =σ1 ⋅cos2 α;
τ′α = σ21 ⋅sin 2α.
Напряжения α σ′′ α , τ′′ , вызванные действием σ2, можно найти аналогично, но при этом необходимо учесть, что вместо угла α в формулы необходимо под- ставить угол – угол между α-площадкой и напряжением σ2.
Если сложить левые и правые части выражений для напряжений на α- и β-площадках, по- лучим следующие равенства:
1) σα +σβ =σ1 +σ2 , из которого следует, что сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам есть величина инвариантная, то есть не зависит от поворота площадки.
2) τα=–τβ, которое еще раз указывает на закон парности касательных напряжений (знак «минус» связан с вышеприведенным правилом знаков для касательных напряжений).
Решая совместно уравнения (5.1) и (5.2) относительно напряжений σ1и σ2, получим выражения для определения главных напряжений при плоском напряженном состоянии по известным напряжениям на произвольных взаимноперпендикулярных площадках:
Обозначения главных напряжений σmax, σmin здесь оправданы тем, что одно из трех главных напряжений равно нулю.
Направление главных площадок найдем, исключая из выражений (5.1), (5.2) величины σ1, σ2 и решая полученное уравнение относительно угла α:
Задачи, рассматриваемые в теории напряженного состояния, могут даваться в прямой и обратной постановке.
