Формула Лапласа

Локальная приближенная формула Лапласа.

При больших n имеет место приближенное равенство

$\displaystyle P_n(k)=\dfrac{1}{\sqrt{npq}}\varphi(x) \qquad \eqno (1)$

где

n - число опытов (испытаний),

p - вероятность успеха,

q=1-p - вероятность неуспеха,

$x = \dfrac{k-np}{\sqrt{npq}}$ ,

$\varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2}}$ .

Интегральная приближенная формула Лапласа.

При больших n имеет место приближенное равенство

$\displaystyle P_n(k_1\leq k\leq k_2)\approx \Phi(x_2)-\Phi(x_1), \qquad\eqno (2)$

где

n - число опытов (испытаний),

p - вероятность успеха,

q=1-p - вероятность неуспеха,

$x_1 = \dfrac{k_1-np}{\sqrt{npq}}$ ,

$x_2 = \dfrac{k_2-np}{\sqrt{npq}}$ ,

$\Phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^x e^{-\dfrac{x^2}{2}}\,dx.$

Функция Ф(х) называется функцией Лапласа. При нахождении значений функции $\varphi(x)\$ и $\ \Phi(x)$ для отрицательных значений аргументов следует иметь в виду, что $\varphi(x)\$ - четная, а Ф(х) – нечетная.

Отметим еще, что приближенными формулами Лапласа (1) и (2) на практике пользуются в случае, если npq > 10 или npq = 10. Если же npq < 10, то эти формулы приводят к довольно большим погрешностям.