Полиномиальная формула Бернулли

Опыты $\alpha_1,\alpha_2,\hdots$ называются независимыми, если любая комбинация их исходов является совокупностью независимых событий.

В вероятностной схеме Бернулли рассматривается последовательность n независимых опытов $\alpha_1,\alpha_2,\hdots,\alpha_n$ , в каждом из которых некоторое событие A может наступить с одной и той же вероятностью $ p=P(A)$ . Условно это событие рассматривается как успех, а его ненаступление (событие $\bar{A}$ ) – как неудача. Вероятность неудачи в каждом опыте равна: $ q=1-p$ .

Пусть для заданного целого числа k ( $0\leq k \leq n$ ) $ P_n(k)$ обозначает вероятность того, что в n опытах успех наступит ровно k раз. Имеет место формула Бернулли:

$\displaystyle P_n(k)=C^k_np^kq^{n-k}.$

Вероятности $ P_n(k)$ $(k = 0,1,\hdots,n)$ называются биномиальными в силу того, что правая часть формулы представляет собой общий член разложения бинома Ньютона:

$\displaystyle (p+q)^n=\sum\limits_{k=0}^nC^k_np^kq^{n-k}.$

Так как $ p+q=1$ , то из формулы бинома Ньютона следует, что сумма всех биномиальных вероятностей равна 1:

$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^nP_n(k)=1.$

Пример 1.

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0.8 и не зависит от номера выстрела. Требуется найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.

Решение.

В этом примере n = 5, р = 0.8 и k = 2; по формуле Бернулли находим:

$\displaystyle P_5(2)=C_5^2p^2q^3=C_5^20.8^20.2^3=0.0512.$