Формула полной вероятности, Байеса, Бернулли

Формула полной вероятности

Предположим, что событие $B$ может осуществляться только с одним из несовместных событий $A_1, A_2,...,A_n$ . Например, в магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий в разном количестве. Существует разная вероятность выпуска некачественной продукции на разных предприятиях. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется определить вероятность того, что это изделие некачественное (событие $B$ ). Здесь события $A_1, A_2,A_3$ — это выбор изделия из продукции соответствующего предприятия.

В этом случае вероятность события $B$ можно рассматривать как сумму произведений событий

$chart?cht=tx&chl=B%20=%20%5Csum_{i=1}^{n$

По теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем

$chart?cht=tx&chl=P(B)%20=%20%5Csum_{i=1}$

Используя теорему умножения вероятностей, находим

$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B/A_i)$ (3.1)

Формула (3.1) носит название формулы полной вероятности.

Формула Байеса

Пусть событие $B$ происходит одновременно с одним из $n$ несовместных событий $A_1, A_2,...,A_n$ . Требуется найти вероятность события $A_i$ , если известно, что событие $B$ произошло.

На основании теоремы о вероятности произведения двух событий можно написать

$P(A_iB) = P(B) * P(A_i/B) = P(A_i)*P(B/A_i)$

Откуда

$A_i)}{P(B)}$

или

(3.2)

Формула (3.2) носит название формулы Байеса.

Формула Бернулли

Предположим, что несколько одинаковых машин в одних и тех же условиях перевозят груз. Любая машина может выйти из строя при этих перевозках. Пусть вероятность выхода из строя одной машины не зависит от выхода из строя других машин. Это значит, что рассматриваются независимые события (испытания). Вероятности выхода из строя каждой из этих машин примем одинаковыми ( $p$ ).

Пусть, в общем случае, производится $n$ независимых испытаний. Ставится задача определения вероятности того, что ровно в $m$ испытаниях наступит событие $A$ , если вероятность наступления этого события в каждом испытании равна $p$ . В случае с машинами это могут быть вероятности выхода из строя ровно одной машины, ровно двух машин и т.д.

Определим вначале вероятность того, что в первых $m$ испытаниях событие $A$ наступит, а в остальных $n-m$ испытаниях — не наступит. Вероятность такого события может быть получена на основании формулы вероятности произведения независимых событий

$chart?cht=tx&chl=P%20=%20p^m*q^{n-m}$ ,

где $q = 1 - p$ .

Так как рассматривалась только одна из возможных комбинаций, когда событие $A$ произошло только в первых $m$ испытаниях, то для определения искомой вероятности нужно перебрать все возможные комбинации. Их число будет равно числу сочетаний из $n$ элементов по $m$ , т.е. $C_n^m$ .

Таким образом, вероятность того, что событие $A$ наступит ровно в $m$ испытаниях определяется по формуле

$P_n(m) = C_n^m p^m q^{n-m}$ , (3.3)

где .

Формула (3.3) носит название формулы Бернулли.