Многоканальная СМО с ожиданием

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с ожиданием. Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки имеют интенсивности λ и μ соответственно, параллельно обслуживаться могут не более С клиентов, то есть система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна . Вероятности того, что в системе находятся п заявок (С обслуживаются, остальные ожидают в очереди) равна: где . Решение будет действительным, если выполняется следующее условие: Остальные вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяется по следующим формулам: среднее число клиентов в очереди на обслуживание ; среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание и в очереди) LS=Lq+ρ; средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди ; средняя продолжительность пребывания клиента в системе . Рассмотрим примеры многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием. Пример. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, - пуассоновский и имеет интенсивность λ=2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно tоб=0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно. Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы: - вероятность состояний системы; - среднее число заявок в очереди на обслуживание; - среднее число находящихся в системе заявок; - среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди; - среднюю продолжительность пребывания заявки в системе. Решение Определим параметр потока обслуживаний Приведенная интенсивность потока заявок ρ=λ/μ=2,5/2,0=1,25, при этом λ/μ ∙с=2,5/2∙3=0,41<1. Поскольку λ/μ∙с<1, то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы. Вычислим вероятности состояний системы: Вероятность отсутствия очереди у мастерской Ротк≈Р0+Р1+Р2+Р3≈0,279+0,394+0,218+0,091=0,937. Среднее число заявок в очереди на обслуживание Среднее число находящихся в системе заявок Ls=Lq+=0,111+1,25=1,361. Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание суток. Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (в системе) суток.