Одноканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью

Рассмотрим теперь одноканальную СМО с ожиданием. Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание поток имеет интенсивность λ. Интенсивность потока обслуживания равна μ (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать μ обслуженных заявок). Длительность обслуживания — случайная величина, подчи­ненная показательному закону распределения. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Рассмотрим систему с ограниченной очередью. Предположим, что независимо оттого, сколько требований по­ступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), из которых одна обслуживается, а (N-1) ожидают, Клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены об­служиваться в другом месте и такие заявки теряются. Наконец, источник, порождающий за­явки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно боль­шую) емкость. Обозначим - вероятность того, что в системе находится n заявок. Эта величина вычисляется по формуле: Здесь - приведенная интенсивность потока. Тогда вероятность того, что канал обслуживания свободен и в системе нет ни одного клиента, равна: . С учетом этого можно обозначить Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1): вероятность отказа в обслуживании заявки: Pотк=РN= относительная пропускная способность системы: абсолютная пропускная способность: А=q∙λ; среднее число находящихся в системе заявок: среднее время пребывания заявки в системе: ; средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди: Wq=Ws- 1/μ; среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди): Lq=λ(1-PN)Wq. Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием. Пример.Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3, то есть (N— 1)=3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику имеет интенсивность λ=0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно =1,05 час. Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме. Решение Интенсивность потока обслуживаний автомобилей: Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей λ и μ, т.е. Вычислим вероятности нахождения п заявок в системе: P1=r∙P0=0,893∙0,248=0,221; P2=r2∙P0=0,8932∙0,248=0,198; P3=r3∙P0=0,8933∙0,248=0,177; P4=r4∙P0=0,8934∙0,248=0,158. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля: Pотк=Р4=r4∙P0≈0,158. Относительная пропускная способность поста диагностики: q=1–Pотк=1-0,158=0,842. Абсолютная пропускная способность поста диагностики А=λ∙q=0,85∙0,842=0,716 (автомобиля в час). Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания): Среднее время пребывания автомобиля в системе: часа. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание: Wq=Ws-1/μ=2,473-1/0,952=1,423 часа. Среднее число заявок в очереди (длина очереди): Lq=λ∙(1-PN)∙Wq=0,85∙(1-0,158)∙1,423=1,02. Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обнаруживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Ротк=0,158). 6.4.