Нехай у середовищі з діелектричною проникливістю ε є система з М точкових та N qi
макроскопічних електричних зарядів (див.Мал.81). Оточимо сукупність зарядів та в об'ємі довільною замкненою поверхнею . Величина оточеного заряду може бути записана як величина розподіленого в об'ємі заряду jQiqjQSVVS
∫∫∫ΣΣρ=+=SVMiNidVqQQ
з густиною заряду ρ й елементарним зарядом dVdqρ=.
Теорема Остроградського-Гауса стверджує, що потік вектора напруженості електростатичного поля у вакуумі через довільну замкнену поверхню дорівнює VS0SQSdEФVεε==∫∫rr. (6)
Дійсно, використовуючи те, що поверхня замкнена і , (5) запишемо у вигляді VSπ=Ω4S∫∫∫πω==Φ40SndkdqdSEdV. (7)
В (7) інтеграл і π=ω∫Ω4dS0
dV'k44dqkdρπ=π⋅⋅=Φ. (8)
Інтегруючи у (8) dq по об'єму і, підставляючи вираз для SV041'kπεε=, одержимо 0V0SnQdV441dSESVεε=ρππεε==Φ∫∫∫∫∫
і остаточно 0SQSdEVεε==Φ∫∫rr,
що й треба було довести.
Фізичний зміст теореми Остроградського-Гауса полягає в тому, що за її допомогою, при відомій напруженості електростатичного поля )r(EErrr=, можна визначити розподіл зарядів )r(qr у просторі поля. Такий зв'язок існує лише у випадку центральних сил, величина яких обернено пропорційна відстані між точковими джерелами центральних сил.
