Спин электрона. Бозоны и фермионы. Принцип Паули.

 В 1922 году немецкие физики О. Штерн и В. Герлах поставили опыты, целью которых было измерение магнитных моментов Pm атомов различных химических элементов. Для химических элементов, образующих первую группу таблицы Менделеева и имеющих один валентный электрон, магнитный момент атома равен магнитному моменту валентного электрона, т.е. одного электрона.

       Идея опыта заключалась в измерении силы, действующей на атом в сильно неоднородном магнитном поле. Неоднородность магнитного поля должна быть такова, чтобы она сказывалась на расстояниях порядка размера атома. Только при этом можно было получить силу, действующую на каждый атом в отдельности.

       Схема опыта изображена на рис. 7.9. В колбе с вакуумом, 10–5 мм рт. ст., нагревался серебряный шарик К, до температуры испарения.

 

Рис. 7.9 Рис. 7.10

       Атомы серебра летели с тепловой скоростью около 100 м/с через щелевые диафрагмы В и, проходя резко неоднородное магнитное поле, попадали на фотопластинку А.

       Если бы момент импульса атома  (и его магнитный момент  ) мог принимать произвольные ориентации в пространстве (т.е. в магнитном поле), то можно было ожидать непрерывного распределения попаданий атомов серебра на фотопластинку с большой плотностью попаданий в середине. Но на опыте были получены совершенно неожиданные результаты: на фотопластинке получились две резкие полосы – все атомы отклонялись в магнитном поле двояким образом, соответствующим лишь двумвозможным ориентациям магнитного момента (рис. 7.10).

       Этим доказывался квантовый характер магнитных моментов электронов. Количественный анализ показал, что проекция магнитного момента электрона равнамагнетону Бора:

 .

       Таким образом, для атомов серебра Штерн и Герлах получили, что проекция магнитного момента атома (электрона) на направление магнитного поля численно равна магнетону Бора.

       Напомним, что

 .

       Опыты Штерна и Герлаха не только подтвердили пространственное квантование моментов импульсов в магнитном поле, но и дали экспериментальное подтверждение тому, что магнитные моменты электронов тоже состоят из некоторого числа «элементарных моментов», т.е. имеют дискретную природу. Единицей измерения магнитных моментов электронов и атомов является магнетон Бора (ħ – единица измерения механического момента импульса).

       Кроме того, в этих опытах было обнаружено новое явление. Валентный электрон в основном состоянии атома серебра имеет орбитальное квантовое число l = 0 (s-состояние). Но при l = 0  (проекция момента импульса на направление внешнего поля равна нулю). Возник вопрос, пространственное квантование какогомомента импульса обнаружилось в этих опытах и проекция какого магнитного момента равна магнетону Бора.

       В 1925 г. студенты Геттингенского университета Гаудсмит и Уленбек предположили существование собственного механического момента импульса у электрона (спина) и, соответственно, собственного магнитного момента электрона Pms.

       Введение понятия спина сразу объяснило ряд затруднений, имевшихся к тому времени в квантовой механике. И в первую очередь – результатов опытов Штерна и Герлаха.

       Авторы дали такое толкование спина: электрон – вращающийся волчок. Но тогда следует, что «поверхность» волчка (электрона) должна вращаться с линейной скоростью, равной 300 с, где с – скорость света. От такого толкования спина пришлось отказаться.

       В современном представлении – спин, как заряд и масса, есть свойство электрона.

       П. Дирак впоследствии показал, что существование спина вытекает из решения релятивистского волнового уравнения Шредингера.

       Из общих выводов квантовой механики следует, что спин должен быть квантован:  , где s – спиновое квантовое число.

       Аналогично, проекция спина на ось z (Lsz) (ось z совпадает с направлением внешнего магнитного поля) должна быть квантована и вектор  может иметь (2s + 1) различных ориентаций в магнитном поле.

       Из опытов Штерна и Герлаха следует, что таких ориентаций всего две:  , а значит s = 1/2, т.е. спиновое квантовое число имеет только одно значение.

       Для атомов первой группы, валентный электрон которых находится в s-состоянии (l = 0), момент импульса атома равен спину валентного электрона. Поэтому обнаруженное для таких атомов пространственное квантование момента импульса в магнитном поле является доказательством наличия у спина лишь двух ориентаций во внешнем поле. (Опыты с электронами в p-состоянии подтвердили этот вывод, хотя картина получилась более сложной) (желтая линия натрия – дуплет из-за наличия спина).

       Численное значение спина электрона:

 .

       По аналогии с пространственным квантованием орбитального момента  проекция спина  квантуется (аналогично, как  , то и  ). Проекция спина на направление внешнего магнитного поля, являясь квантовой величиной, определяется выражением:

 ,

       где  – магнитное спиновое квантовое число,  , т.е. может принимать только два значения, что и наблюдается в опыте Штерна и Герлаха.

       Итак, проекция спинового механического момента импульса на направление внешнего магнитного поля может принимать два значения:

       Так как мы всегда имеем дело с проекциями, то говоря, что спин имеет две ориентации, имеем в виду две проекции.

       Проекция спинового магнитного момента электрона на направление внешнего магнитного поля:

 .

       Отношение  – спиновое гиромагнитное отношение.

 

Бозоны и фермионы

 

      Если перейти от рассмотрения движения одной микрочастицы (одного электрона) к многоэлектронным системам, то проявляются особые свойства, не имеющие аналогов в классической физике. Пусть квантово-механическая система состоит из одинаковых частиц, например электронов. Все электроны имеют одинаковые физические свойства – массу, электрический заряд, спин и другие внутренние характеристики (например квантовые числа). Такие частицы называют тождественными.

       Необходимые свойства системы одинаковых тождественных частиц проявляются в фундаментальном принципе квантовой механики – принципе неразличимости тождественных частиц, согласно которому невозможно экспериментально различить тождественные частицы.

       В классической механике даже одинаковые частицы можно различить по положению в пространстве и импульсам. Если частицы в какой-то момент времени пронумеровать, то в следующие моменты времени можно проследить за траекторией любой из них. Классические частицы, таким образом, обладают индивидуальностью, поэтому классическая механика систем из одинаковых частиц принципиально не отличается от классической механики систем из различных частиц.

       В квантовой механике положение иное. Из соотношения неопределенности вытекает, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией, позволяющей лишь вычислять вероятность  нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точки пространства. Если же волновые функции двух тождественных частиц в пространстве перекрываются, то разговор о том, какая частица находится в данной области, вообще лишен смысла: можно говорить лишь о вероятности нахождения в данной области одной из тождественных частиц. Таким образом, в квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми. Следует подчеркнуть, что принцип неразличимости тождественных частиц не является просто следствием вероятной интерпретации волновой функции, а вводится в квантовую механику как новый принцип, как указывалось выше, является фундаментальным.

       Принимая во внимание физический смысл величины  , принцип неразличимости тождественных частиц можно записать в следующем виде:

       где  и  – соответственно, совокупность пространственных и силовых координат первой и второй частиц. Из выражения (8.1.1) вытекает, что возможны два случая:

       т.е. принцип неразличимости тождественных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции. Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется симметричной, если меняет – антисимметричной. Изменение знака волновой функции не означает изменения состояния, т.к. физический смысл имеет лишь квадрат модуля волновой функции.

       В квантовой механике доказывается, что характер симметрии волновой функции не меняется со временем. Это не является доказательством того, что свойства симметрии или антисимметрии – признак данного типа микрочастиц.

       Установлено, что симметрия или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц. В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса: частицы с полуцелым спином (например электроны, нейтроны и протоны) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми–Дирака; эти частицы называются фермионами. Частицы с нулевым, или целочисленным,спином (например фотоны, мезоны) описываются симметричными функциями (волновыми) и подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна; эти частицы называютсябозонами.

       Сложные частицы (например атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, являются фермионами (суммарный спин – полуцелый), а из четного –бозонами (суммарный спин – целый).

       Зависимость характера симметрии волновых функций системы тождественных частиц от спина частиц теоретически обоснована швейцарским физиком В. Паули, что явилось еще одним доказательством того, что спины являются фундаментальной характеристикой микрочастиц.

Принцип Паули.

  Если тождественные частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно перестановки частиц. Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, т.к. для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной. Обобщая опытные данные, В. Паули сформировал принцип исключения, согласно которому системы фермионов встречаются в природе только в состояниях, описываемых антисимметричными волновыми функциями (квантово-механическая формулировка принципа Паули).

       Из этого положения вытекает более простая формулировка принципа Паули, которая и была введена им в квантовую теорию (1925 г.) еще до построения квантовой механики: в системе одинаковых фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии. Отметим, что число одинаковых бозонов, находящихся в одном и том же состоянии, не лимитируется.

       Напомним, что состояние электрона в атоме однозначно определяется набором четырех квантовых чисел:

       ·        главного n  ;

       ·        орбитального l  , обычно эти состояния обозначают 1s, 2d, 3f;

       ·        магнитного  (  );

       ·        магнитного спинового  (  ).

       Распределение электронов в атоме происходит по принципу Паули, который может быть сформулирован для атома в простейшем виде: в одном и том же атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел: n, l,  ,  :

Z (n, l,  ,  ) = 0 или 1,

       где Z (n, l,  ,  ) - число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемых набором четырех квантовых чисел: n, l,  ,  . Таким образом, принцип Паули утверждает, что два электрона, связанные в одном и том же атоме различаются значениями, по крайней мере, одного квантового числа.

       Максимальное число  электронов, находящихся в состояниях, описываемых набором трех квантовых чисел n, l и m, и отличающихся только ориентацией спинов электронов равно:

       ибо спиновое квантовое число может принимать лишь два значения 1/2 и –1/2.

       Максимальное число  электронов, находящихся в состояниях, определяемых двумя квантовыми числами n и l:

       При этом вектор орбитального момента импульса электрона  может принимать в пространстве (2l + 1) различных ориентаций (рис. 8.1).

Рис. 8.1

       Максимальное число электронов, находящихся в состояниях, определяемых значением главного квантового числа n, равно:

       Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число n, называется электронной оболочкой или слоем.

       В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам, соответствующим данному l.

       Область пространства, в которой высока вероятность обнаружить электрон, называют подоболочкой или орбиталью. Вид основных типов орбиталей показан на рис. 8.1.

       Поскольку орбитальное квантовое число принимает значения от 0 до  , число подоболочек равно порядковому номеру n оболочки. Количество электронов в подоболочке определяется магнитным и магнитным спиновым квантовыми числами: максимальное число электронов в подоболочке с данным l равно 2(2l + 1).