{Спектр гармонического осциллятора.Нулевые колебания атомов в кристаллической решётке при абсолютном нуле. Вырождение колебательного движения}
Как известно, гармоническим осциллятором называется система, способная совершать гармонические колебания. В физике модель гармонического осциллятора играет важную роль, особенно при исследовании малых колебаний систем около положения устойчивого равновесия. Примером таких колебаний в квантовой механике являются колебания атомов в твердых телах, молекулах и т.д.
Аннотация: изучение качественной стороны решения уравнения Шредингера для гармонического осциллятора, выяснение отличий получаемых результатов от выводов классической механики. (Традиционное изложение темы, дополненное демонстрациями на компьютерных моделях.)
Содержание
Одна из важных задач о движении микрочастиц – это задача о движении гармонического осциллятора - системе, способной совершать гармонические колебания. 
История квантовой теории реально начинается с Макса Планка, который в 1900 г. получил формулу для правильного описания спектрального распределения теплового излучения. Планк пришел к выводу, что не может обеспечить вывод своей магической формулы для распределения излучения, если только не сделать предположения, которое с философской точки зрения он считал почти неприемлемым. Это предположение заключалось в том, что рассматриваемые им в качестве излучателей гармонические осцилляторы должны обладать энергиями, не распределенными как непрерывные переменные (чего следовало бы ожидать), а принимающими дискретные и регулярным образом расположенные значения. Осцилляторы с частотой υ должны были обладать значениями энергии, которые были бы кратны, т.е. n раз умножены (где n = 0,1, 2,3,...) на нечто, названное им квантом энергии hυ.
Рассмотрим одномерный случай. (Трехмерные задачи сложны в математическом отношении, а практически все принципиальные особенности движения микрочастиц можно выявить и на одномерных задачах.) Изменение потенциальной энергии по оси x описывается формулой
Какие примеры движения окружающего мира хотя бы приближенно описываются такой потенциальной функцией?
- Колебания маятника с малой амплитудой.
- Другой пример – вертикальные колебания грузика, подвешенного на пружине.
В мире микрочастиц примерами могут быть колебания двухатомной молекулы или колебания атомов в кристаллах. Существенным для всех примеров является ограничение движения некоторой областью значений x. Частица не может покинуть параболическую потенциальную яму, края которой уходят на бесконечность.
Из классической механики известно, что проекция движения частицы на ось x представляет собой синусоидальное колебание около положения равновесия x = 0 с частотой:
Точки a0 и -a0, в которых полная энергия частицы E равна потенциальной энергии, являются для частицы точками поворота. Плотность вероятности обнаружения колеблющейся частицы в различных точках оси x описывается формулой
Минимальна вероятность найти частицу около положения равновесия, где она движется с максимальной скоростью. Вблизи точек поворота частица как бы "зависает", и там вероятность обнаружения максимальна.
Оценка минимальной энергии осциллятора
Посмотрим, к каким выводам о характере движения приводит квантовая механика. Начнем с простой оценки минимального значения энергии осциллятора E. Полная энергия осциллятора E складывается из кинетической и потенциальной энергий:
Используя соотношение неопределенности Гейзенберга, в качестве оценки значения импульса p возьмем p ~ ћ/x.
Для малых значений x кинетическая энергия превышает потенциальную, тогда как при больших значениях x имеет место обратное соотношение между ними. Для основного состояния, где энергия минимальна, найдем минимум функции (2). Значение переменной xmin, соответствующее минимуму, равно:
а соответствующее значение энергии E имеет порядок
Заметим, что оценка энергии основного состояния дает ненулевое(!) значение. Уже простые вычисления приводят к нетривиальному результату.
Решения уравнения Шредингера
Нахождение точного решения требует решения уравнения Шредингера с потенциальной энергией (1), которое имеет вид
Трудности решения связаны со слагаемым, содержащим x2. Приведем здесь только результаты вычислений. Анализ показывает, что, как и в случае с прямоугольной потенциальной ямой, волновые функции, являющиеся решением этого уравнения, будут непрерывными и конечными не при всех значениях энергии E, а лишь при дискретномнаборе значений:
где n принимает значения 0, 1, 2, ... . Отметим, что энергетические уровни гармонического осциллятора в отличие от случая прямоугольной потенциальной ямы расположены на одинаковом энергетическом расстоянии друг от друга ΔE = hυ.
Важной особенностью решения является наличие так называемых нулевых колебаний - колебаний с энергией, соответствующих значению квантового числа n = 0. Отличие от нуля минимальной энергии осциллятора характерно для всех квантовых систем и является следствием соотношения неопределенностей (см. оценку выше). В реальных квантовых системах, например, кристаллах, эти колебания сохраняются, как показывает опыт, даже при температурах, близких к абсолютному нулю, когда, казалось бы, все тепловое движение должно прекратиться. Опыты по рассеянию света кристаллами при низких температурах это подтверждают. Велика роль нулевых колебаний и вщснении природы сил молекулярных взаимодействий (пример ниже) и других молекулярных явлений.
Первые три волновых функции гармонического осциллятора выглядят так:
Здесь введено обозначение x02 = h/(4π2mυ).
Графики этих волновых функций представлены на рисунке ниже.
Пунктиром показаны границы, между которыми совершала бы колебания классическая частица. Значения a0 отличаются для разных n, так как от n зависит энергия Е (~E1/2). Очевидно, что при малых значениях квантового числа n плотность вероятности нахождения частицы, определяемая квадратом модуля волновой функции ψ0(x)2, кардинальным образом отличается от плотности вероятности обнаружения классического осциллятора: в основном состоянии максимальное значение вероятности приходится на центр, модуль волновой функции для всех квантовых чисел n имеет наибольшие значения между классическими точками поворота и экспоненциально убывающие "хвосты" вне этих точек.
Определим для основного состояния, как велика вероятность P обнаружения частицы вне пределов классической области, т.е. вне области -a0 < x < a0. Значение a0 находится просто
Найдем сначала вероятность обнаружения частицы в классической области
где y = x/x0. Поскольку под интегралом находится четная функция переменной y, то
Полученный интеграл называется интегралом вероятностей, значения его для различных значений верхнего предела имеются в таблицах. В нашем случае (интеграл от 0 до 1)Pкл ≈ 0.84. Соответственно, вероятность того, что частица будет обнаружена вне классической области, равна P = 1 - Pкл ≈ 0.16. Очень значительная величина!
Упражнение:
После прочтения этой и лекции о "Движении частиц в прямоугольной потенциальной яме" рассортируйте 6 утверждений, приведенных ниже, по двум столбцам. Для этого щелкайте по нужной стрелке.
| Квантовая физика | Классическая физика |
|---|---|
Компьютерная модель
Компьютерная модель поможет Вам в исследовании квантового осциллятора. Ее возможности: после того, как Вы зададите порядковый номер атомов Z, из которых состоит молекула (по умолчанию Z=8), компьютер проведет необходимые расчеты и будет готов показать разрешенные значения энергии, соответствующие им волновые функции и распределения плотности вероятности нахождения частицы по координате. Двигайте указатель вдоль оси энергий (мышкой или клавишами со стрелками) и наблюдайте.
.
Определите:
- как плотность уровней зависит от массы атомов;
- как энергия частицы зависит от квантового числа n;
- как вероятность обнаружить частицу зависит от x; убедитесь в том, что амплитуда колебаний частицы увеличивается с ростом ее энергии;
- как вероятность обнаружения частицы вне классической области зависит от квантового числа n. Для этого на нижнем графике установите крестик в начало области интегрирования, нажмите клавишу "Enter" и передвиньте крестик в конечную точку. Компьютер рассчитает площадь под кривой, равную вероятности обнаружить частицу в выбранном Вами диапазоне координат;
Смешение состояний (принцип суперпозиции)
Реальные объекты (атомы в молекуле, кристалле,...) редко находятся в основном состоянии. За счет, например, теплового возбуждения реальны состояния с квантовым числом n> 0. Одно из важнейших положений квантовой механики - принцип суперпозиции. Он гласит: если квантовая частица может находиться в состояниях, описываемых функциями Ψ1, Ψ2, ...,Ψn, то линейная комбинация (суперпозиция) волновых функций Ψi
где сi - произвольные постоянные, также является волновой функцией, описывающей одно из возможных состояний частицы. Коэффициенты сi изменяются во времени. Принцип неопределенности ΔtΔE>h/2π не позволяет определить зависимость от времени этих коэффициентов для конкретного осциллятора (можно, однако, получить средние значения для большого количества осцилляторов).
Для гармонического осциллятора интересен набор состояний, который минимизирует соотношение неопределенности "координата - импульс", т.е. произведение ΔpΔx=h/2π. Впервые он был построен Шредингером в 1926 г. Волновая функция Ψ(x,t) может быть разложена по волновым функциям стационарных состояний осциллятора
Коэффициенты этого разложения
Вероятность осциллятору находиться в состоянии с квантовым числом n равна
т.е. дается распределением Пуассона. Волновая функция Ψ(x,t) представляет нерасплывающийся волновой пакет. Центр пакета движется по классическому закону, ширина пакета не зависит от времени.
Эти состояния называют когерентными, так как они используются для описания когерентных свойств электромагнитного излучения в квантовой теории поля (R. Glauber, Нобелевская премия 2005 года; текст нобелевской лекции, 269 кб). Можно показать, что свободное электромагнитное поле эквивалентно бесконечному набору независимых гармонических осцилляторов.
Со свойствами когерентных состояния гармонического осциллятора можно познакомиться поближе с помощью компьютерной модели (автор L. Kocbach).
Вычисление средних значений
С помощью волновых функций можно найти среднее значение любой величины (если ее можно в принципе измерить экспериментально). Величина |ψ(x)|2dx - вероятность нахождения частицы в интервале dx. В случае многократных наблюдений за частицей |ψ(x)|2dx - доля частиц, которые находились в этом интервале, т.е. |ψ(x)|2 является функцией распределения по координате. С ее помощью найдем, что среднее значение координаты
Аналогичным образом находится среднее значение любой функции координаты, например, для потенциальной энергии имеем
В этих формулах, чтобы вычислить среднее значение, мы умножаем значение функции в точке x на вероятность нахождения частицы около x и суммируем по всем возможным значениям x. В качестве примера найдем эти величины для основного состояния гармонического осциллятора
т.к. под интегралом нечетная функция, и
Среднее значение потенциальной энергии равно половине полной энергии этого состояния.
Правило для вычисления средней кинетической энергии отличается от приведенного, т.к. кинетическая энергия является функцией импульса p, а не координаты x:
Для основного состояния гармонического осциллятора
т.е. мы показали, что для основного состояния гармонического осциллятора средние значения потенциальной энергии и кинетической энергии равны между собой и составляют половину полной энергии осциллятора. Можно показать, что это утверждение будет справедливым и для любого другого состояния квантового гармонического осциллятора. Среднее значение потенциальной энергии увеличивается с ростом n, так как при больших значениях n функция ψ(x) заметно отлична от нуля в тех областях оси х, где потенциал U(x) увеличивается. Обратите на это внимание при экспериментах с компьютерной моделью.
Правила переходов
Энергия излучения при переходе из одного состояния в другое равна
Набор равноотстоящих энергетических уровней гармонического осциллятора (3) на первый взгляд означает, что осциллятор может поглощать и испускать излучение с частотой, кратной υ, т.е. kυ , где k - разность квантовых чисел начального и конечного уровней осциллятора. Однако, на самом деле это не так. Точный анализ показывает, что если
где n и m квантовые числа начального и конечного состояний, среднее значение координаты не меняется во времени, и такие переходы запрещены.
Проверим выполнение этого условия для гармонического осциллятора. Пусть n=1, а m=0. Опуская постоянные, для интеграла получим выражение
т.к. под интегралом четная функция. Если положить n=2, m=1,
по той же причине. Переходы между соседними уровнями 0↔1 и 1↔2 являются разрешенными. Рассмотрим теперь переход между состояниями n=0 и m=2. Соответствующий интеграл имеет вид
поскольку функция под интегралом нечетная, а пределы симметричны относительно x=0. Следовательно, переходы 0↔2 запрещены. Особенности испускания и поглощения электромагнитного излучения гармоническим осциллятором таковы, что возможны переходы только между соседними уровнями Δn = ± 1. Это правило отбора для гармонического осциллятора.
Трехмерный гармонический осциллятор
В общем случае потенциальная энергия выражается суммой
Уравнение Шредингера допускает разделение переменных. Если решение искать в виде ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z), получается три дифференциальных уравнения, совпадающих по виду с одномерным. Для изотропного случая (kx =ky =kz = k) значения энергии таковы
где квантовые числа n1, n2 и n3 пробегают значения от 0 до бесконечности. Как и в одномерной задаче, налицо дискретность значений энергии, не равная нулю нулевая энергия. Но в трехмерном случае решение определяется тремя квантовыми числами. И особенность: одно и то же значение энергии могут иметь различные состояния, для которых выполнено условие n1+n2+n3 = const. Такие состояния называют вырожденными.
Взаимодействие двух осцилляторов
Существование нулевой энергии (формула (3) при n = 0) сыграло важную роль для объяснения такого загадочного явления, как межатомное взаимодействие у благородных газов. Так как это взаимодействие проявляется в уравнении состояния Ван-дер-Ваальса для реальных газов
оно названо ван-дер-ваальсовским. Если молекулы (атомы) обладают дипольным моментом, то их притяжение обусловлено взаимодействием диполей (качественно и количественно исследованный факт). Но нейтральные молекулы с симметричным в состоянии покоя распределением заряда могут взаимодействовать только при смещении зарядов, вызывающем появление дипольного момента. Такое смещение возникает при не исчезающих ни при каких условиях нулевых колебаний с энергией hυ/2. Появление дипольного момента у одной молекулы индуцирует дипольный момент в другой. Взаимодействие этих быстро меняющихся моментов и обуславливает притяжение.
В качестве простой модели рассмотрим два линейных осциллятора, расположенных на расстоянии R друг от друга и колеблющихся вдоль соединяющей их прямой. Положительные заряды будем считать неподвижными, x1 и x2 - смещение отрицательных частиц (электронов) от положения равновесия.
В отсутствии второго (или при очень большом R) потенциальная энергия каждого осциллятора может быть рассчитана по формуле (1), а частоту колебаний обозначим через υ0
Энергия взаимодействия двух диполей по закону Кулона равна
