Временное уравнение Шредингера. Статистический смысл волновой функции

 Как, зная структуру силового поля, в котором движется частица, определить волновую функцию, описывающую квантовомеханическое состояние этой частицы? Как, зная волновую функцию в начальный момент времени, описать эволюцию волновой функции во времени? Ответы на эти вопросы дает основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, сформулированное Э.Шредингером в 1926 г.

      Общее временное уравнение Шредингера, позволяющее определить в любой момент времени волновую функцию  для частицы массы , движущейся в силовом поле , описываемом скалярной потенциальной функцией , имеет вид

     

      Здесь  - мнимая единица, а  - рационализированная постоянная Планка. Стандартным символом  в (3.8) обозначен дифференциальный оператор Лапласа, который в декартовой системе координат имеет вид

     

      В общем случае в задачах квантовой механики дифференциальное уравнение в частных производных (3.8) должно решаться с учетом определенных начальных и граничных условий на волновую функцию.

      Начальное условие задает значение волновой функции в начальный момент времени .

      Граничные условия являются следствием регулярности волновой функции, обеспечивая, в частности, ее непрерывность. Эти условия формулируются на границах областей, где потенциальная функция терпит разрывы первого или второго рода. Сюда же относятся условия на волновую функцию в бесконечно удаленных точках пространства, которые обеспечивают выполнение условия нормировки (3.4).

      Уравнение Шредингера, как и законы классической механики Ньютона, законы термодинамики, уравнения электродинамики Максвелла и другие основные физические уравнения, не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как некоторое научное положение, справедливость которого доказывается согласием результатов расчетов, выполненных с помощью уравнения Шредингера, с данными экспериментов. Такое согласие установлено для большого числа явлений в атомной и ядерной физике. Квантовые эффекты, предсказанные с помощью уравнения Шредингера, лежат в основе многих технических устройств, приборов и технологий.

      Уравнение Шредингера тесно связано с гипотезой де Бройля и вытекающим из неё корпускулярно-волновым дуализмом материи. Действительно, непосредственной проверкой легко убедиться, что для свободной частицы, с кинетической энергий , движущейся в отсутствие силовых полей () в направлении оси , решением соответствующего уравнения Шредингера

     

     является волновая функция

     

     соответствующая плоской волне де Бройля. Этот факт позволяет утверждать, что и в общем случае уравнение Шредингера является волновым уравнением. Линейность этого уравнения обуславливает принцип суперпозиции квантовых состояний, физическое содержание которого обсуждалось в предыдущем параграфе.

      Как уже указывалось, квантовая механика содержит в себе классическую механику как некоторый предельный случай. Значит, соответствующий предельный переход можно осуществить и в основном уравнении квантовой механики. Уравнение Шредингера после такого предельного преобразования должно перейти в основное уравнение классической механики.

      Связь между квантовой и классической механикой аналогична связи между волновой и геометрической оптикой. В обоих случаях переход от одной теории к другой соответствует переходу от относительно больших длин волн (частицы или излучения) к малым длинам волн, если их сравнивать с характерным размером  области неоднородности силового поля или оптических свойств среды. Этот вывод иллюстрирует следующая таблица

     

Волновая оптика	Квантовая механика
Геометрическая оптика	Классическая механика

     В таком сравнении теорий траектория движения классической частицы является аналогом светового луча в геометрической оптике.

      Формально, малость длины волны де Бройля для частицы можно обеспечить, считая квант действия  некоторым параметром задачи и осуществляя предельный переход по этому параметру. Действительно, по формуле де Бройля (2.2) при  длина волны де Бройля также стремится к нулю. Поэтому переход от квантовой теории к классической в уравнении Шредингера (3.8) можно осуществить, выполняя в нем предельный переход . В курсах теоретической физики анализируются результаты такого предельного перехода и доказывается, что при  общее временное уравнение Шредингера (3.8) переходит в уравнение Гамильтона-Якоби классической механики.

      Следует отметить, что с помощью волновых функций, найденных из решений уравнения Шредингера, можно описывать квантовые состояния только нерелятивистских частиц, которые движутся со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме. Переход к релятивистским скоростям частиц в квантовой механике был впервые осуществлен для электрона П.Дираком в 1928 г. Такой переход потребовал принципиально новых физических идей для описания квантовых состояний релятивистских частиц, результатом применения которых явилось создание релятивистской квантовой механики. В основе этой теории лежит уравнение Дирака, которое обобщает уравнение Шредингера и в настоящее время широко используется в квантовой электродинамике и теории элементарных частиц.

 

 

Чтобы устранить эти трудности, не­мецкий физик М. Борн (1882-1970) в 1926 г. предположил, что по волно­вому закону меняется не сама вероят­ность, а некая величина, названная ам­плитудой вероятности, обозначаемая. Эту величину называют также волновой функцией (или -фун­кцией). Амплитуда вероятности может быть комплексной, и вероятность W про­порциональна квадрату ее модуля:

                                                                                           (6.1)

  Таким образом, описание состояния мик­рообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер: квадрат модуля волновой функ­ции (квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность на­хождения частицы в момент времени t в об­ласти с координатами х и х + dx, у и у + dy. : и z + dz.

Итак, в квантовой механике состояние микрочастиц описывается принципиально по-новому — с помощью волновой функ­ции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и вол­новых свойствах. Вероятность нахожде­ния частицы в элементе объема dV равна

                                                                      ,                          (6.2)

где величина                 

(квадрат модуля Т-функции) имеет смысл плотности вероятности. Таким образом, физический смысл имеет не сама -функция, а квадрат ее модуля (-функция, комплексно-сопряженная с ), которым определяется интенсив­ность волн де Бройля.

Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V, согласно теореме сложения вероятностей, равна

                                             .

Поскольку  определяется как ве­роятность, необходимо волновую функцию Т нормировать так, чтобы ве­роятность W достоверного события об­ращалась в единицу, если за объем V принять бесконечный объем всего про­странства. Это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве. Следовательно, условие нормировки вероятностей

                                                

                                                                                                (6.3) 

 

где тройной интеграл (6.3) вычисляет­ся по всему бесконечному пространству, т. е. по координатам х, у. z от  до . Таким образом, условие (6.3) говорит об объективном существовании частицы во времени и пространстве.

   Чтобы волновая функция являлась объ­ективной характеристикой состояния ми­крочастиц, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция Т, характеризуя вероятность обнаружения действия микрочастицы в элементе объ­ема, должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), од­нозначной (вероятность не может быть не однозначной величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скач­ком).

Волновая функция удовлетворяет прин­ципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, опи­сываемых волновыми функциями   то она также может нахо­диться в состоянии, описываемом ли­нейной комбинацией этих функций:

                                  

где Сn (n = 1,2,…) — некоторые комплекс­ные числа. Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей), а не вероят­ностей (квадратов волновых функций) принципиально отличает квантовую тео­рию от классической статистической тео­рии, в которой для независимых собы­тий справедлива теорема сложения веро­ятностей.

Зная волновую функцию  в квантовой механике,   вычисляют   средние   значения физических    величин,    характеризующих данный микрообъект. Например, среднее расстояние   <r>   электрона   от   ядра   вы­числяют по формуле:

                                               

где интегрирование производится, как и в случае (6.3).

Уравнение Шредингера

Статистическое толкование волн де Бройля  и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели к выводу, что уравнением дви­жения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различ­ных силовых полях, должно быть урав­нение, из которого бы вытекали наблю­даемые на опыте волновые свойства ча­стиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой фун­кции , так как именно она, или, точнее, величина , определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме, т. е. в области с координатами х и x+dx, у и у+dy, z и z + dz. Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравне­нию, описывающему электромагнитные волны.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано Э. Шредингером (1926). Уравнение Шре­дингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнение Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правиль­ность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его по­мощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид

                                                          (7.1)                        

где , m – масса частицы,  – оператор Лапласа , i – мнимая единица,  -   потенциальная энергия частицы в си­ловом поле, в котором частица движется.