Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике — векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве является равенство нулю ротора поля. Однако это условие не является достаточным (например, в многосвязной области у безвихревого поля может не существовать скалярный потенциал).
В физике, имеющей дело с силовыми полями, математическое условие потенциальности силового поля можно представить как требование равенства нулю работы при мгновенном перемещении частицы, на которую действует поле, по замкнутому контуру. Этот контур не обязан быть траекторией частицы, движущейся под действием только данных сил. В качестве потенциала поля в этом случае можно выбрать работу по мгновенному перемещению пробной частицы из некоторой произвольно выбранной исходной точки в заданную точку (по определению эта работа не зависит от пути перемещения). Например, потенциальными являются статическоеэлектрическое поле, а также гравитационное поле в ньютоновой теории гравитации.
В некоторых источниках потенциальным полем сил считается только поле с потенциалом, не зависящим от времени. Это связано с тем, что потенциал для сил, зависящий от времени, вообще говоря, не является потенциальной энергией тела, движущегося под действием этих сил. Поскольку силы совершают работу не одномоментно, работа сил над телом будет зависеть от его траектории и от скорости прохождения по ней. В этих условиях сама потенциальная энергия не определена, так как по определению должна зависеть только от положения тела, но не от пути. Тем не менее, и для этого случая потенциал для сил может существовать, и может входить в уравнения движения так же, как и потенциальная энергия для тех случаев, когда она существует.
(1.4
Условие (1.4) свидетельствует, что электростатическое поле имеет безвихревой характер.
Поле, удовлетворяющее этому условию, называют безвихревым.
Электрический потенциал, с учетом условия (1.4), может быть связан с вектором напряженности электрического поля при помощи следующего соотношения:
.
(1.7)
Градиент потенциала равен приращению потенциала, отнесенному к единице длины и взятому в направлении, в котором это приращение имеет наибольшее значение.
Формы представления градиента в различных системах координат различны. В декартовой системе координат его записывают так:
Здесь ? – дифференциальный оператор Гамильтона (оператор набла).
Оператор Гамильтона применяют для сокращения записи различных операций над функциями, в том числе и операцию взятия градиента.
Таким образом, равенство (1.7) может быть записано в форме
Знак минус в этом равенстве (и эквивалентном ему равенстве (1.7)) указывает, что потенциал убывает в направлении линий напряженности поля.
Все сказанное свидетельствует о том, что всякое безвихревое поле есть поле потенциальное, то есть такое, которое может быть охарактеризовано потенциальной функцией U.
Обратно, всякое потенциальное поле является безвихревым.
