На плоскости можно измерять углы и расстояния.
Угол фиксируется тремя точками: одна точка - это вершина угла, а две другие точки фиксируют направления 1-й и 2-й сторон угла. В простейшем случае хотя бы одна точка из трех не имеет координат, то-есть, является определяемой; в общем случае определяемыми могут быть одна точка, две точки или все три.
Расстояние фиксируется двумя точками, и в общем случае определяемыми могут быть одна точка или обе.
В данном разделе рассматривается простейший случай, когда измерение угла или расстояния выполняют для определения координат одной точки. Поскольку при измерении угла определяемая точка может располагаться либо в вершине угла, либо на одной из его сторон, то с нашей точки зрения на плоскости имеют место три разных измерения, которые назовем элементарными.
Измеряется угол β на пункте A с известными координатами X4,Y4 между направлением с известным дирекционным углом αAB и направлением на определяемую точку P
Измеряется расстояние S от пункта A с известными координатами XA, YA до определяемой точки P. Из курса геометрии известно, что точка P находится на окружности радиуса S, проведенной вокруг точки A, и называемой линией положения точки P.
В этом уравнении X и Y - координаты любой точки окружности, в том числе и точки P, но для нахождения двух координат точки одного такого уравнения недостаточно.
Измеряется угол β на определяемой точке P между направлениями на два пункта с известными координатами.
Координаты X и Y точки P можно найти из совместного решения двух уравнений, поэтому, взяв любую комбинацию из трех измерений по два, получим простейшие способы определения координат точки, назывемые геодезическими засечками.
Остальные комбинации измерений называются комбинированными засечками.
Каждое из трех элементарных измерений является инвариантом по отношению к системам координат, что позволяет решать засечки на различных чертежах, определяя положение точки P относительно фиксированных точек A и B графическим способом.
Аналитический способ решения засечек - это вычисление координат определяемой точки. Оно может быть выполнено через решение системы двух уравнений, соответствующих выполненным измерениям, или через решение треугольника, вершинами которого являются два исходных пункта и определяемая точка (этот способ для краткости назовем способом треугольника).
В любом геодезическом построении принято выделять три типа данных:
исходные данные (координаты исходных пунктов, дирекционные углы исходных направлений и т.п.); эти данные часто принимаются условно безошибочными,
измеряемые элементы; каждый измеренный элемент обычно сопровождается значением средней квадратической ошибки измерения,
неизвестные (или определяемые) элементы; эти элементы подлежат нахождению по специально разработанному алгоритму, и их значения получаются с некоторой ошибкой, зависящей от ошибок измерений и геометрии данного построения.
В полярной засечке исходными данными являются координаты пункта A и дирекционный угол направления AB (или координаты пункта B), измеряемыми элементами являются горизонтальный угол β (средняя квадратическая ошибка измерения угла mβ) и расстояние S (относительная ошибка его измерения mS/S=1/T), неизвестные элементы - координаты X, Y точки P.
В геодезии есть две стандартные задачи: прямая геодезичеcкая задача на плоскости и обратная геодезическая задача на плоскости.
Прямая геодезическая задача - это вычисление координат X2, Y2 второго пункта, если известны координаты X1, Y1 первого пункта, дирекционный угол α и длина S линии, соединяющей эти пункты. Прямая геодезическая задача является частью полярной засечки, и формулы для ее решения берутся из набора формул.
