1.Основные понятия.
Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.
Обычно функция нескольких переменных задается явным аналитическим способом. Например: z=3x+5y2,u=xy+z2 и т.д.
Встречается также и неявное задание таких функций, например: z-2x-sinxy=0.
Упорядоченная пара чисел (x,y) может рассматриваться как точка на плоскости, т.е. Z есть функция точки (x,y).
Чтобы задать функцию z=f(x,y), надо не только указать правило нахождения z по заданным x и y, но и то множество (называемое областью задания функции) пар значений, которые могут принимать аргументы x и y.
Например, функция z=
задана только при 1-y
>0, т.е. внутри эллипса y2+4x2<1 с полуосями, а=0,5 и в=1 не включая точки, лежащие на эллипсе.
Определение. Если каждой совокупности значений переменных x,y,z…t соответствует определенное значение переменной w, то w называется функцией независимых переменных x,y,z…t и записывается w=f(x,y,z…t).
Для функции трех переменных областью определения является упорядоченная тройка чисел (x,y,z), т.е. некоторая совокупность точек пространства. Область определения функции четырех и большего числа переменных не допускает простого геометрического истолкования.
Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функции z=f(x,y), заданной на некотором множествеD точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых (x,y) принадлежит D, а z=f(x,y). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.
Например, графиком функции z=4-x2-y2 является параболоид.
Функции трех и большего числа переменных не имеют геометрического представления.
2.Непрерывность функции нескольких переменных.
Определение. Число А называется пределом функции f(M), где М(x1,x2,…xn) – точка n-мерного пространства, при стремлении точки М к точке М0(x10,x20,…xn0) любым образом, если для всякого сколь угодно малого 
>0 существует такое число 
>0, что из условия 
<, где - расстояние между точками М и М0, следует 
<.
Обозначается:
А 
.
Пусть z=f(x,y). Придадим x и y приращения 
и 
. Получим приращение 
функции z=f(x,y). Если
, (1)
т.е. бесконечно малым аргументам соответствует бесконечно малое приращение функции, то говорят, что функция непрерывна.
Распишем 
x0+
y+
-f(x0,y0) и положим x0+
x=x,y0+
,то выражение(1) можно записать в виде
f(x,y)=f(x 0,y0), (2)
т.е. непрерывность функции означает, что ее предел равен ее значению от пределов аргументов.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области. Если в некоторой точке не выполняется условие (2), то эта точка называется точкой разрыва.
http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Fn/s_ind.htm
