Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на заданное число.
Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:
. Эти матрицы равны, т.к. равны их размеры: и , а также соответствующие элементы: ;
Задание. Пусть . Найти матрицу .
Решение.
Ответ.
Суммой матриц и одного размера называется матрица такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов.
Задание. Найти , если ,
Решение.
Ответ.
Операции умножение матрицы на число и сумма матриц называются линейными.
Свойства линейных операций:
Везде далее матрицы , и - матрицы одного размера.
- Ассоциативность
- , где - нулевая матрица соответствующего размера.
- Коммутативность
- Дистрибутивность
Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что элемент матрицы , стоящий в -ой строке и -ом столбце, т.е. элемент , равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -ого столбца матрицы .
Свойства произведения матриц:
- Ассоциативность
- Ассоциативность по умножению
- Дистрибутивность ,
- Умножение на единичную матрицу
- В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е.