четность и нечетность функции

функция, график, четная функция, нечетная функции, симметрия относительно оси, симметрия относительно начала координат.

Функция y = f(x) называется четной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство
f(-x) = f(x).

четные функции: y = /x/, y = x2, y = cos x

График четной функции симметричен относительно оси OY.

Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство
f(-x) = - f(x).

нечетные функции: y = 1/x, y = x3, y = sin x, y = tg x, y = ctg x, y = arcsin x, y = arctg x

График нечетной функции симметричен относительно начала координат O.

Из определения четной и нечетной функции следует, что область определения X как четной, так и нечетной функции должна обладать следующим свойством:
если x принадлежит X, то и -x принадлежит X, т.е. X - симметричное относительно начала координат O множество.

Свойства четности и нечетности функции определяется исходя из влияния знака аргумента на ее значение. Это влияние отображается на графике функции в определенной симметрии. Иными словами, выполняется свойство четности, если f(-x) = f(x), т.е. знак аргумента не влияет на значение функции, и нечетности, если справедливо равенство f(-x) = -f(x).

Нечетная функция графически выглядит симметричной относительно точки пересечения координатных осей, четная – относительно оси ординат. Примером четной функции может служить парабола x², нечетной – f = x³.

Пример № 1Исследовать на четность функцию x²/(4·x² - 1).Решение:Подставьте в данную функцию –x вместо x. Вы увидите, что знак функции не изменится, поскольку аргумент в обоих случаях присутствует в четной степени, которая нейтрализует отрицательный знак. Следовательно, исследуемая функция является четной.

Пример № 2Проверить функцию на четность и нечетность: f = -x² + 5·x.Решение:Как и в предыдущем примере, подставьте –x вместо x: f(-x) = -x² – 5·x. Очевидно, что f(x) ≠ f(-x) и f(-x) ≠ -f(x), следовательно, функция не обладает свойствами ни четности, ни нечетности. Такая функция называется индифферентной или функцией общего вида.

Исследовать функцию на четность и нечетность можно также наглядным образом при построении графика или нахождении области определения функции. В первом примере областью определения является множество x ∈ (-∞; 1/2) ∪ (1/2; +∞). График функции симметричен относительно оси Oy, значит, функция четная.

В курсе математики сначала изучают свойства элементарных функций, а затем полученные знания переносят на исследование более сложных функций. Элементарными являются степенные функции с целым показателем, показательные вида a^x при a>0, логарифмические и тригонометрические функции.

Как исследовать функцию

Находится область определения функции, т.е. диапазон значений x, при которых функция принимает какое либо значение.

2
Определяются области непрерывности и точки разрыва. При этом обычно области непрерывности совпадают с областью определения функции, необходимо исследовать левые и правые приделы изолированных точек.

3
Проверяется наличие вертикальных асимптот. Если функция имеет разрывы, то необходимо исследовать концы соответствующих промежутков.

4
Четность и нечетность функции проверяется по определению. Функция y = f(x) называется четной, если для любого x из области определения верно равенство f(-x) = f(x).

5
Функция проверяется на периодичность. Для этого x меняется на x + T и ищется наименьшее положительное число T. Если такое число существует, то функция периодична, а число T – период функции.

7
Исследуется выпуклость функции, находятся точки перегиба. Исследование производится аналогично исследованию на монотонность, но при этом рассматривается вторая производная.

8
Находятся точки пересечения с осями OX и OY, при этом y = f(0) – пересечение с осью OY, f(x) = 0 – пересечение с осью OX.

9
Определяются пределы на концах области определения.

10
Строится график функции.

11
По графику определяется область значений функции и ограниченность функции.