1

1. Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число, произведение матриц.

Матрицей A=A_mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Вектор. Матрица столбец: n=1. Например

5. Диагональная матрица: m=n и a_ij=0, если i≠j. Например

6. Единичная матрица: m=n и

7. Нулевая матрица: a_ij=0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Треугольная матрица: все элементы по одну сторону от главной диагонали равны 0.

Пример.        

9. Симметрическая матрица: m=n и a_ij=a_ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A'=A

Например,

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A_mk*B_kn=C_mn причем каждый элемент с_ij матрицы C_mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.

5. Возведение в степень

m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A^T или A'

Строки и столбцы поменялись местами

Свойства опрераций над матрицами

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(A')'=A

(λA)'=λ(A)'

(A+B)'=A'+B'

(AB)'=B'A'