Пусть для ряда ∑Un, где Un>0, n=1,2.. существует предел Un+1/Un=L; тогда, если L<1, то ряд сходится, а если L>1, то ряд расходится.
Д-во:
Рассмотрим три случая:
а) пусть l < 1 . Тогда всегда можно взять e настолько малым, чтобы выполнялось неравенство
l + e < 1 и, начиная с некоторого n , неравенство Un+1/Un<q<1, где q = l + e , в силу чего ряд (1) будет сходящимся;
б) пусть l > 1 . Выбираем e так, чтобы e = l - 1 > 0 .png)
потому что.png)
Таким образом, доказано, что если l < 1, то ряд (1) сходится; если l > 1 , то ряд (1) расходится.
