Минор k -го порядка матрицы – определитель матрицы, составленный из элементов данной матрицы, стоящих на пересечении произвольно выделенных ее k строк и k столбцов с сохранением их порядка, т.е. минор k-го порядка есть определитель квадратной матрицы размера k x k.
Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется число
,
где — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.
Дополнительный минор квадратной матрицы порядка () — определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием строк и столбцов.
Теорема.
Доказательство. По определению, детерминант матрицы A представляет собой сумму
(*)
по всем возможным перестановкам индексов, нумерующих столбцы.
Выберем произвольным образом некоторую строку, например, с номером i.
Один из элементов этой строки представлен в каждом произведении . Поэтому слагаемые суммы (*) можно перегруппировать, объединив в первую группу те, что содержат элемент a11 в качестве общего множителя, во вторую группу – члены, содержащие элемент a12 и т.д.
Другими словами, выражение (*) можно представить в виде линейной комбинации элементов ai j (j = 1,2,…,n):
где
Покажем, что представляет собой алгебраическое дополнение элемента ai j.
Перестановка преобразуется в перестановку посредством (i – 1) транспозиций элемента j с соседними элементами. В полученной перестановке элемент j образует (j – 1) инверсий с другими элементами.
Следовательно,
Однако сумма
представляет собой минор элемента ai j .
Таким образом, и, следовательно, представляет собой алгебраическое дополнение элемента ai j.
Поскольку , то тем самым доказана и Теорема о разложении определителя по элементам столбца.