Корень многочлена (не равного тождественно нулю) над полем K — это элемент , такой, что выполняются два следующих равносильных условия:
- данный многочлен делится на многочлен ;
- подстановка элемента c вместо x обращает уравнение в тождество.
Говорят, что корень имеет кратность , если рассматриваемый многочлен делится на и не делится на
Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена на бином равен .
Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).
Следствия
- Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится без остатка на двучлен (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена тождественно множеству корней соответствующего уравнения ).
- Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
- Пусть — целый корень приведённого многочлена с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого число делится на .