Принцип максимума работы для монокристалла (с доказательством).Принцип минимума сдвига для монокристалла (с доказательством).

Пусть dε – приращение деформации, реализующееся в монокристалле, σ – тензор напряжений, вызывающий эту деформацию. Пусть имеется другой тензор напряжений σ*, не нарушающий условие текучести. Через dγ (k) обозначим элементарные
сдвиги по активным системам скольжения, так что 

Отметим также, что знаки dγ(k) и τ(k) в данном случае всегда одинаковы и положительны (каждое из направлений в плоскости скольжения образует собственную систему скольжения). Тогда нетрудно установить следующее соотношение:

Для определения физически и геометрически возможных векторов (приращений) сдвига dγ в теории Бишопа–Хилла используется упомянутый выше принцип минимума сдвига. Пусть dε – задаваемое приращение деформаций, σ – тензор напряжений, инициирующий эту деформацию активизацией приращения сдвига dγ и удовлетворяющий условию текучести. Предположим, что dγ* – вектор приращения сдвига, также эквивалентный dε (т.е. геометрически возможный), однако не обязательно вызываемый некоторым напряжением, удовлетворяющим условию текучести (т.е. не являющийся физически возможным)

Заметим, что в силу выполнения условия текучести для тензора σ компоненты τ (k) вектора сдвиговых напряжений τ в любой k-й системе скольжения не превосходят критического напряжения сдвига ( )c τ k .

Последнее соотношение представляет принцип минимума сдвига Тейлора, расширенный на случай неоднородного упрочнения; иногда его называют принципом минимума работы. Полагая, что упрочнение одинаково во всех системах скольжения, из (4.10) получаем: