Рассмотрим уравнение x=Fx с непрерывным оператором
Теорема Шаудера: Пусть C входит в D – непустое замкнутое выпуклое множество. Если выполнены условия
- F(C)=C
- F- вполне непрерывный оператор
Следовательно существует хотя бы одна неподвижная точка оператора F
Следствие теоремы(когда в качестве C выступает замкнутый шар с центром Q): Пусть вполне непрерывный оператор F:X->X удовлетворяет неравенству ||Fx||<=A+B||x||, B<1 Следовательно существует хотя бы одна неподвижная точка.
Неравенство в следствии является ограничением на скорость роста нелинейного оператора F. Кроме того, это неравенство является аналогом условия Липшеца на бесконечности.
Для доказательства достаточно в силу теорему Шаудера проверить, что неравенство обеспечивает существование такого замкнутого шара Ur=C, такой что: F(Ur) входит в Ur
Зафиксируем радиус шара R и рассмотрим неравенство ||Fx||<=A+B||x||<=A+BR
Это неравенство означает, что F(Ur) входит в Ur1, Где новый радиус это A+BR, И если новый радиус меньше прежнего значит выполняются все условия теоремы Шаудера следовательно существует неподвижная точка. Следствие и теорема гарантируют существование неподвижной точки, но не обеспечивают ее единственность.
Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
Дано диф. Уравнение. Построим интегральное уравнение Fx=x0+∫(х0,t)f(s,x(s))ds
Для доказательства существования неподвижной точки оператора F воспользуемся утверждением следствия. Из непрерывности функции двух пременных следует вполне непрерывность оператора. Для доказательства существования неподвижной точки остается обеспечить выполнение неравенства в следствии. Для этого предположим,что функция f(t,x) удовлетворяет неравенству |f(t,x)|<=c1+c2|x|
Тогда имеем
|Fx|<=|x0|+c1(b-a)+c2(b-a)||x||=A+B||x|| B<1
Теорема: Пусть выполнены условия:
- f(t,u) Непрерывная функция
- Выполняется условие |f(t,u)|<=c1+c2|u|
- (b-a)c2<1
Тогда задача Коши имеет хотя бы одно значение.
